泊松方程

泊松方程（英语：Poisson's equation）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。

泊松方程式為

$\Delta\varphi=f$

在這裡$\Delta$代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為${\nabla}^2$，因此泊松方程通常寫成

${\nabla}^2 \varphi = f$

在三維直角坐標系，可以寫成

$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).$

如果沒有$f(x,y,z)$，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

$\Delta \varphi = 0. \!$

泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考screened Poisson equation。現在有很多種數值解。像是relaxation method，不斷回圈的代數法，就是一個例子。

靜電學

在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電場的問題。在國際單位制（SI）中：

${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}$

此$\Phi \!$代表電勢（單位為伏特），$\rho \!$是電荷體密度（單位為庫侖/立方公尺），而$\epsilon_0 \!$是真空電容率（單位為法拉/公尺）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

$\rho = 0, \,$

此方程式就變成拉普拉斯方程：

${\nabla}^2 \Phi = 0.$

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 $\rho(r)$：

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},$

此處，Q代表總電荷

此泊松方程式：${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}$ 的解Φ(r)則為

$\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)$

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場 ${1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r}$；正如我們所預期的。

參閱

• 离散泊松方程

參考資料

• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9