本页使用了标题或全文手工转换

泊松方程

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

泊松方程英语Poisson's equation)是數學中一個常見於靜電學機械工程理論物理偏微分方程式,因法國數學家幾何學家物理學家泊松而得名的。

泊松方程式為

-\Delta\varphi=f

在這裡\Delta代表的是拉普拉斯算子,而f\varphi可以是在流形上的實數複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間,而拉普拉斯算子通常表示為{\nabla}^2,因此泊松方程通常寫成

{\nabla}^2 \varphi = f

在三維直角坐標系,可以寫成


-\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

如果有f(x,y,z)恒等于0,這個方程式就會變成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。

\Delta \varphi = 0. \!

泊松方程可以用格林函數來求解;如何利用格林函數來解泊松方程可以參考screened Poisson equation。現在有很多種數值解。像是relaxation method,不斷回圈的代數法,就是一個例子。

数学表达[编辑]

通常泊松方程式表示为

-\Delta\varphi=f

这里\Delta代表拉普拉斯算子f为已知函数,而\varphi为未知函数。当f=0 时,这个方程被称为拉普拉斯方程

为了解泊松方程我们需要更多的信息,比如狄利克雷边界条件:


\begin{cases}
-\Delta \varphi = f & \text{in} \ \Omega \\
\varphi = g & \text{auf} \ \partial\Omega
\end{cases}

其中 \Omega \subset \R^n 为有界开集

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基础函数为:

\Phi(x) := \begin{cases}
-\dfrac{1}{2\pi}\ln |x| & n=2 \\
\dfrac{1}{n(n-2)\omega_n} \dfrac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3
\end{cases}

其中\omega_n为n维欧几里得空间中单位球面的体积,此时可通过卷积(\Phi * f)得到 -\Delta\varphi= f的解。

为了使方程满足上述边界条件,我们使用格林函数

G(x,y) := \Phi(y-x) - \phi^x(y)

\phi^x 为一个校正函数,它满足


\begin{cases}
\Delta \phi^x = 0 &\text{in} \ \Omega \\
\phi^x = \Phi(y-x) &\text{auf} \ \partial\Omega
\end{cases}

通常情况下\phi^x是依赖于\Omega

通过 G(x,y)可以给出上述边界条件的解

u(x) = -\int_{\partial\Omega}g(y)\frac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)\mathrm{d}\sigma(y) + \int_\Omega f(y) G(x,y) \mathrm{d}y

其中\sigma 表示\partial\Omega上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。


靜電學[编辑]

靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題,因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電場的問題。在國際單位制SI)中:

{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}

 \Phi \! 代表電勢(單位為伏特), \rho \!電荷體密度(單位為庫侖/立方公尺),而 \epsilon_0 \!真空電容率(單位為法拉/公尺)。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子,則

\rho = 0, \,

此方程式就變成拉普拉斯方程

{\nabla}^2 \Phi = 0.

高斯電荷分佈的電場[编辑]

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 \rho(r)

\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},

此處,Q代表總電荷

此泊松方程式:{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0} 的解Φ(r)則為

\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

erf(x)代表的是误差函数.

注意:如果r遠大於σ,erf(x)趨近於1,而電場Φ(r)趨近點電荷電場 {1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r};正如我們所預期的。

參閱[编辑]

參考資料[编辑]

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9