泊松方程

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

泊松方程英语Poisson's equation)是數學中一個常見於靜電學機械工程理論物理偏微分方程式,因法國數學家幾何學家物理學家泊松而得名的。

泊松方程式為

\Delta\varphi=f

在這裡\Delta代表的是拉普拉斯算子,而f和φ可以是在流形上的實數複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間,而拉普拉斯算子通常表示為{\nabla}^2,因此泊松方程通常寫成

{\nabla}^2 \varphi = f

在三維直角坐標系,可以寫成


\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

如果沒有f(x,y,z),這個方程式就會變成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。

\Delta \varphi = 0. \!

泊松方程可以用格林函數來求解;如何利用格林函數來解泊松方程可以參考screened Poisson equation。現在有很多種數值解。像是relaxation method,不斷回圈的代數法,就是一個例子。

靜電學[编辑]

靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題,因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電場的問題。在國際單位制SI)中:

{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}

 \Phi \! 代表電勢(單位為伏特), \rho \!電荷體密度(單位為庫侖/立方公尺),而 \epsilon_0 \!真空電容率(單位為法拉/公尺)。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子,則

\rho = 0, \,

此方程式就變成拉普拉斯方程

{\nabla}^2 \Phi = 0.

高斯電荷分佈的電場[编辑]

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 \rho(r)

\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},

此處,Q代表總電荷

此泊松方程式:{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0} 的解Φ(r)則為

\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

erf(x)代表的是误差函数.

注意:如果r遠大於σ,erf(x)趨近於1,而電場Φ(r)趨近點電荷電場 {1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r};正如我們所預期的。

參閱[编辑]

參考資料[编辑]

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9