泊肃叶定律

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让·泊肃叶

泊肃叶定律Poiseuille's law[1]也稱為帕醉定律哈根-泊肃叶定律Hagen-Poiseuille's law)、哈根-帕醉方程Hagen-Poiseuille's equation),是描述流體流经细管(如血管和导尿管等)所產生的壓力損失,壓力損失和體積流率、動黏度和管長的乘積成正比,和管径的四次方成反比例。此定律適用於不可壓縮、不具有加速度層流穩定且長於管徑的牛頓流體。泊肃叶定律是让·泊肃叶英语Jean Léonard Marie Poiseuille于1838年和戈特希尔夫·哈根英语Gotthilf Hagen于1838和1839年分别实验独立发现的,並于1840年和1846年发表。

泊肃叶定律的应用前提有三:

  1. 假设液体是不可压缩流體
  2. 假设液体是牛顿流体,即它的粘滞系数不随流速而改变;
  3. 假设液体的流动是层流,而不是湍流,即管的直径不能太大。

公式[编辑]

標準流體力學的表示法[编辑]

以下是用標準流體力學表示法下的泊肃叶定律:[2][3]

 \Delta P = \frac{8 \mu L Q}{ \pi r^4}

 \Delta P = \frac{128 \mu L Q}{ \pi d^4}

其中

\Delta P 是壓力損失
L是細管長度
 \mu 動黏度
Q體積流率
r半徑
d直徑

物理表示法[编辑]

 \Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \left( \frac{- \Delta P}{\Delta x}\right) = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{ |\Delta P|}{L}

其中的單位如下,單位則是以相容的單位為主(例如國際單位制

 \Phi 是體積流率(標準流體力學表示法中的Q
V(t)是流過的液體體積函數,參數為時間t
v是沿著細管的平均流體速度
x是沿著流體流動方向的距離
R是細管的內半徑
\Delta P 是細管兩端的壓力損失
\eta 動黏度,SI制單位為Pa·s
L是細管的長度

此公式在細管进口段的誤差較大[4]:3

此公式不適用在低黏度、短管、寬管或流體流速高的條件下。低黏度、高流速或寬管的條件會產生紊流,導致該流體的壓力差較此定律所預測的值為大。因此需要用到像是达西-韦史巴赫方程之類較複雜的模型。若管子太短,泊肃叶定律會計算出不實際的高體積流率。此公式所計算出的流體流率,被限制在較寬鬆條件的伯努利定律結果之內:

\Phi_{max} = \pi R^2 \sqrt{2 \Delta P / \rho}

推導[编辑]

管子中的層流,其速度分布呈拋物線

泊肃叶定律可以由纳维-斯托克斯方程推導而來,但若已知管子中的層流,其速度分布呈拋物線[5]

 v = - \frac{1}{4 \eta} \frac{\Delta P}{\Delta x} (R^2 - r^2)

在相同直徑處的速度也會相同,因此將相同直徑處的流體視為一薄層,流過薄層流體的體積流量等於速度乘以薄層的截面積:

 \Phi (r)dr =  \frac{1}{4 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (R^2 - r^2) 2 \pi rdr = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (rR^2 - r^3)dr

再將上述的量對半徑r積分,即可得到總流量。

 \Phi = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} \int_{0}^{R} (rR^2 - r^3)\, dr = \frac{|\Delta P| \pi R^4}{8 \eta \Delta x}

和达西-韦史巴赫方程的關係[编辑]

泊肃叶定律不只是有關壓力損失和流速的公式,也和管子中的層流,其速度分布呈拋物線有關[5]。不過只要推定紊流下的有效紊流黏度,也可以將上述壓力損失的公式延伸到紊流的情形,即使紊流速度分布已不呈拋物線也沒關係。在層流和紊流的情形下,壓力損失都和管壁的應力有關,由管壁應力可以定義所謂的摩擦因數。在水力学的領域中,管壁應力可以用达西-韦史巴赫方程求得,其中摩擦因數表示為和雷諾數和其他物理量的函數。若在層流的情形下:

 \Lambda = {64\over {\it \mathrm{Re}}} \; , \quad\quad \mathrm{Re} = {2\rho v r\over \eta} \; ,

其中

 \Lambda為摩擦因數
Re雷諾數
\rho為流體密度
v為平均流體速度,在層流的情形下會是最大流體速度的一半

上述式子用平均流體速度來定義雷諾數,因此其實用性提高。因為在紊流其最大流體速度很難計算。此公式可以近似达西摩擦因数。 \Lambda是圓型管子下流速很低的層流下的摩擦因數。韦德曼(Wiedman)曾在1856年獨立的進行和此定律型式稍微不同的定律的推導,諾伊曼和哈根巴赫(E. Hagenbach)也曾在1858年推導過型式不完全一様的定律。哈根巴赫是第一個稱此定律為泊肃叶定律的人。

泊肃叶定律在生理学中的血液流变学英语hemorheology血液動力学英语hemodynamics中非常的重要[6]

1891年時L. R. Wilberforce以哈根巴赫的研究為基礎,將泊肃叶定律擴展到紊流的領域中。

可壓縮流體下的泊肃叶定律[编辑]

若管中的是可壓縮流體英语Compressible flow,其體積流率及線速度會延著管子變化。流體一般會以出口處的壓力來表示,當流體壓縮或是膨脹時,流體會作功,溫度可能上昇或是下降,因此流體流率和流體與外界的熱交換有關。若是在等温过程下的理想氣體,也就是氣體溫度和外界平衡時,而且管子兩端的壓力差很小時,其出口處的體積流率可以表示如下式:

 \Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4} \left( P_{i}-P_{o} \right)}{8 \eta L} \times \frac{ P_{i}+P_{o}}{2 P_{o}} = \frac{\pi R^{4}}{16 \eta L} \left( \frac{ P_{i}^{2}-P_{o}^{2}}{P_{o}} \right)

其中

 P_{i} 為入口壓力
 P_{o} 為出口壓力
 L 為管長
 \eta 動黏度
 R 半徑
 V 為出口處的流體體積
 v 為出口處的流體速度

當流體的馬赫數小於0.3時,可以用上式近似實際的體積流率。

上式可以視為是增加一修正係數 \frac{P_{i}+P_{o}}{2} \times \frac{1}{P_{o}} 的泊肃叶定律,修正係數是考慮平均壓力相對於出口壓力的比例。

和電路的類比[编辑]

電子一開始也是當作一種流體來了解,水力類比英语hydraulic analogy的概念在了解電子電路上仍十分有用。這種類比方式也用來研究流體機械網路的頻率響應,其中流體機械網路會以液压回路英语hydraulic circuit來表示。

泊肃叶定律對應電路中的歐姆定律V=IR),其中壓力差\Delta P對應電壓V,而體積流率\Phi對應電流,則以下的物理量對應電阻

R = \frac{ 8 \eta \Delta x}{\pi r^4}.

一個管子的有效阻力和半徑倒數的四次方成正比,因此管子的半俓減半會使管子的阻力變為原來的16倍。

歐姆定律和泊肃叶定律都是對於輸運現象的描述。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Sutera,S.P. Skalak,R.(1993)"The history of Poiseuille's law" Annual Review of Fluid Mechanics 25:1-19.
  2. ^ Kirby, B.J. Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices.. Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-11903-0. 
  3. ^ Bruus, H. Theoretical Microfluidics. 2007. 
  4. ^ Vogel, Steven. Life in Moving Fluids: The Physical Biology of Flow. PWS Kent Publishers. 1981. ASIN 0871507498. ISBN 0871507498. 
  5. ^ 5.0 5.1 層流與擾流
  6. ^ Determinants of blood vessel resistance