法丛

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数学领域之微分几何中,法丛normal bundle)是一个特殊的向量丛,得自一个嵌入浸入,是切丛的补。

定义[编辑]

黎曼流形[编辑]

(M,g)是一个黎曼流形S \subset M是一个黎曼子流形。对给定的p \in S,一个向量n \in \mathrm{T}_p M定义为S的法向量,如果g(n,v)=0对所有v\in \mathrm{T}_p S(从而n 正交\mathrm{T}_p S)。这样的n的集合\mathrm{N}_p S称之为Sp法空间

就像一个流形的法丛是由流形的所有切空间构造的,S的法丛的全空间\mathrm{N} S定义为

\mathrm{N}S := \coprod_{p \in S} \mathrm{N}_p S.\,

余法丛定义为法丛的对偶丛。它可以自然实现为余切丛的子丛。

一般定义[编辑]

更抽象地,给定一个浸入i\colon N \to M(比如嵌入),我们可以定义NM中的法丛,在每一点取M上的切丛对N的切丛的商空间。对黎曼流形我们可将商与正交补等同,但一般不可行(这样一种选取等价于投影V \to V/W的一个截面)。

从而法丛一般是周围空间对限制在子丛上切丛的商。

正式地,NM中的法丛是M的切丛的一个商丛: 我们有N上向量丛的短正合序列

0 \to TN \to TM\vert_{i(N)} \to T_{M/N} := TM\vert_{i(N)} / TN \to 0

这里TM\vert_{i(N)}M的切丛限制在N上(准确地说,M的切丛i^*TM通过映射i 拉回N上)。

稳定法丛[编辑]

抽象流形由一个典范切丛,但没有法丛:只有当一个流形嵌入(或浸入)另一个流形时诱导了一个法丛。但是,由惠特尼嵌入定理,每个流形可以嵌入在\mathbf{R}^N中,给了这样一个嵌入,每个流形有一个法丛。

一般没有自然的嵌入方式,但对给定的M,任何两个嵌入在\mathbf{R}^N中,对足够大N正则同伦的,从而诱导了相同的法丛。所得的法丛类(这是一个丛的类而不是一个特定的丛,因为N可以变)称为稳定法丛stable normal bundle)。

对偶于切丛[编辑]

法丛在K-理论的意义下对偶于切丛: 由上一个短正合序列,在格罗滕迪克群

[TN] + [T_{M/N}] = [TM].\,

浸入在\mathbf{R}^N中的情形,周围空间的法丛是平凡的(由于\mathbf{R}^N可缩,从而可平行化),故[TN] + [T_{M/N}] = 0,从而[T_{M/N}] = -[TN]

这在计算示性类时有用,可用于证明一个流形可浸入和可嵌入欧几里得空间中的下界