法丛

在数学领域之微分几何中，法丛（normal bundle）是一个特殊的向量丛，得自一个嵌入或浸入，是切丛的补。

定义

黎曼流形

设 $(M,g)$ 是一个黎曼流形，$S \subset M$ 是一个黎曼子流形。对给定的 $p \in S$，一个向量 $n \in \mathrm{T}_p M$ 定义为 $S$ 的法向量，如果 $g(n,v)=0$ 对所有 $v\in \mathrm{T}_p S$（从而 $n$ 正交于 $\mathrm{T}_p S$）。这样的 $n$ 的集合 $\mathrm{N}_p S$ 称之为 $S$ 在 $p$ 的法空间。

就像一个流形的法丛是由流形的所有切空间构造的，$S$ 的法丛的全空间 $\mathrm{N} S$ 定义为

$\mathrm{N}S := \coprod_{p \in S} \mathrm{N}_p S.\,$

余法丛定义为法丛的对偶丛。它可以自然实现为余切丛的子丛。

一般定义

更抽象地，给定一个浸入 $i\colon N \to M$（比如嵌入），我们可以定义 N 在 M 中的法丛，在每一点取 M 上的切丛对 N 的切丛的商空间。对黎曼流形我们可将商与正交补等同，但一般不可行（这样一种选取等价于投影 $V \to V/W$ 的一个截面）。

从而法丛一般是周围空间对限制在子丛上切丛的商。

正式地，N 在 M 中的法丛是 M 的切丛的一个商丛： 我们有 N 上向量丛的短正合序列：

$0 \to TN \to TM\vert_{i(N)} \to T_{M/N} := TM\vert_{i(N)} / TN \to 0$

这里 $TM\vert_{i(N)}$ 是 M 的切丛限制在 N 上（准确地说， M 的切丛 $i^*TM$ 通过映射$i$ 拉回到 N 上）。

稳定法丛

抽象流形由一个典范切丛，但没有法丛：只有当一个流形嵌入（或浸入）另一个流形时诱导了一个法丛。但是，由惠特尼嵌入定理，每个紧流形可以嵌入在 $\mathbf{R}^N$ 中，给了这样一个嵌入，每个流形有一个法丛。

一般没有自然的嵌入方式，但对给定的 M，任何两个嵌入在 $\mathbf{R}^N$ 中，对足够大 N 是正则同伦的，从而诱导了相同的法丛。所得的法丛类（这是一个丛的类而不是一个特定的丛，因为 N 可以变）称为稳定法丛（stable normal bundle）。

对偶于切丛

法丛在K-理论的意义下对偶于切丛： 由上一个短正合序列，在格罗滕迪克群中

$[TN] + [T_{M/N}] = [TM].\,$

浸入在 $\mathbf{R}^N$ 中的情形，周围空间的法丛是平凡的（由于 $\mathbf{R}^N$ 可缩，从而可平行化），故 $[TN] + [T_{M/N}] = 0$，从而 $[T_{M/N}] = -[TN]$。

这在计算示性类时有用，可用于证明一个流形可浸入和可嵌入欧几里得空间中的下界。