法丛

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数学领域之微分几何中,法丛normal bundle)是一个特殊的向量丛,得自一个嵌入浸入,是切丛的补。

定义[编辑]

黎曼流形[编辑]

(M,g) 是一个黎曼流形S \subset M 是一个黎曼子流形。对给定的 p \in S,一个向量 n \in \mathrm{T}_p M 定义为 S 的法向量,如果 g(n,v)=0 对所有 v\in \mathrm{T}_p S(从而 n 正交\mathrm{T}_p S)。这样的 n 的集合 \mathrm{N}_p S 称之为 Sp法空间

就像一个流形的法丛是由流形的所有切空间构造的,S 的法丛的全空间 \mathrm{N} S 定义为

\mathrm{N}S := \coprod_{p \in S} \mathrm{N}_p S.\,

余法丛定义为法丛的对偶丛。它可以自然实现为余切丛的子丛。

一般定义[编辑]

更抽象地,给定一个浸入 i\colon N \to M(比如嵌入),我们可以定义 NM 中的法丛,在每一点取 M 上的切丛对 N 的切丛的商空间。对黎曼流形我们可将商与正交补等同,但一般不可行(这样一种选取等价于投影 V \to V/W 的一个截面)。

从而法丛一般是周围空间对限制在子丛上切丛的商。

正式地,NM 中的法丛是 M 的切丛的一个商丛: 我们有 N 上向量丛的短正合序列

0 \to TN \to TM\vert_{i(N)} \to T_{M/N} := TM\vert_{i(N)} / TN \to 0

这里 TM\vert_{i(N)}M 的切丛限制在 N 上(准确地说, M 的切丛 i^*TM 通过映射i 拉回N 上)。

稳定法丛[编辑]

抽象流形由一个典范切丛,但没有法丛:只有当一个流形嵌入(或浸入)另一个流形时诱导了一个法丛。但是,由惠特尼嵌入定理,每个流形可以嵌入在 \mathbf{R}^N 中,给了这样一个嵌入,每个流形有一个法丛。

一般没有自然的嵌入方式,但对给定的 M,任何两个嵌入在 \mathbf{R}^N 中,对足够大 N正则同伦的,从而诱导了相同的法丛。所得的法丛类(这是一个丛的类而不是一个特定的丛,因为 N 可以变)称为稳定法丛stable normal bundle)。

对偶于切丛[编辑]

法丛在K-理论的意义下对偶于切丛: 由上一个短正合序列,在格罗滕迪克群

[TN] + [T_{M/N}] = [TM].\,

浸入在 \mathbf{R}^N 中的情形,周围空间的法丛是平凡的(由于 \mathbf{R}^N 可缩,从而可平行化),故 [TN] + [T_{M/N}] = 0,从而 [T_{M/N}] = -[TN]

这在计算示性类时有用,可用于证明一个流形可浸入和可嵌入欧几里得空间中的下界