法图引理

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测度论中,法图引理说明了一个函数列的下极限积分(在勒贝格意义上)和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图(Pierre Fatou),被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理勒贝格控制收敛定理

叙述[编辑]

\scriptstyle (S,\Sigma,\mu)为一个测度空间\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}是一个实值的可测正值函数列。那么:


\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
 \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限,函数的取值和积分可以是无穷大。

证明[编辑]

定理的证明基于单调收敛定理(非常容易证明)。设\scriptstyle f为函数列\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}下极限。对每个正整数 k ,逐点定义下极限函数:

g_k=\inf_{n\ge k}f_n.

于是函数列g1, g2, . . .单调递增并趋于\scriptstyle f

任意k ≤ n,我们有gk ≤ fn,因此

\int_S g_k\,d\mu\le \int_S f_n\,d\mu,

于是


\int_S g_k\,d\mu
\le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu.

据此,由单调收敛定理以及下极限的定义,就有:


\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
=\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu
\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu
=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.

反向法图引理[编辑]

\scriptstyle (f_n)测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ,使得对所有的 n 都有\scriptstyle f_n \le g,那么


\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu
\ge\limsup_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu.

这里\scriptstyle g只需弱可积,即\textstyle\int_S g\,d\mu<\infty

证明:对函数列\scriptstyle (g - f_n)应用法图引理即可。

推广[编辑]

推广到任意实值函数[编辑]

法图引理不仅对取正值的函数列成立,在一定限制条件下,可以扩展到任意的实值函数。令\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ,使得对所有的 n 都有\scriptstyle f_n \ge  g,那么

证明:对函数列\scriptstyle ( f_n - g )应用法图引理即可。

逐点收敛[编辑]

在以上的条件下,如果函数列在Sμ-几乎处处逐点收敛到一个函数\scriptstyle f,那么

\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.

证明:\scriptstyle f是函数列的极限,因此自然是下极限。此外,零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛[编辑]

如果函数列在S依测度收敛\scriptstyle f,那么上面的命题仍然成立。

证明:存在\scriptstyle (f_n)的一个子列使得

\lim_{k\to\infty} \int_S f_{n_k}\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.

这个子列仍然依测度收敛到\scriptstyle f,于是又存在这个子列的一个子列在Sμ-几乎处处逐点收敛\scriptstyle f,于是命题成立。

外部链接[编辑]

参考来源[编辑]

  • H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.