法图引理

在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

叙述

设$\scriptstyle (S,\Sigma,\mu)$为一个测度空间， $\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}$是一个实值的可测正值函数列。那么：

$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

证明

定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设$\scriptstyle f$为函数列$\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}$ 的下极限。对每个正整数 k ，逐点定义下极限函数：

$g_k=\inf_{n\ge k}f_n.$

于是函数列g₁, g₂, . . .单调递增并趋于$\scriptstyle f$ 。

任意k ≤ n，我们有g_k ≤ f_n，因此

$\int_S g_k\,d\mu\le \int_S f_n\,d\mu,$

于是

$\int_S g_k\,d\mu \le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu.$

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

$\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu =\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu \le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu =\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

反向法图引理

令$\scriptstyle (f_n)$为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ，使得对所有的 n 都有$\scriptstyle f_n \le g$，那么

$\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu \ge\limsup_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu.$

这里$\scriptstyle g$只需弱可积，即$\textstyle\int_S g\,d\mu<\infty$。

证明：对函数列$\scriptstyle (g - f_n)$应用法图引理即可。

推广

推广到任意实值函数

法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令$\scriptstyle (f_n)_{n \ge 0}$为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数，函数的至于为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ，使得对所有的 n 都有$\scriptstyle f_n \le - g$，那么

证明：对函数列$\scriptstyle (g - f_n)$应用法图引理即可。

逐点收敛

在以上的条件下，如果函数列在S上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数$\scriptstyle f$，那么

$\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

证明：$\scriptstyle f$是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

如果函数列在S上依测度收敛到$\scriptstyle f$，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在$\scriptstyle (f_n)$的一个子列使得

$\lim_{k\to\infty} \int_S f_{n_k}\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.$

这个子列仍然依测度收敛到$\scriptstyle f$，于是又存在这个子列的一个子列在S 上μ-几乎处处逐点收敛到$\scriptstyle f$，于是命题成立。

外部链接

• PlanetMath上法图引理的資料。

参考来源

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.