泛函

传统上，泛函通常是指一種定義域為函數，而值域为实数的「函數」。换句话说，就是从函数组成的一个向量空间到实数的一个映射。也就是说它的输入为函数，而输出为实数。泛函的应用可以追溯到变分法，那里通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上，寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

在泛函分析中，泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。

设$S\$是由一些函数構成的集合。所谓$S\$上的泛函就是$S\$上的一个实值函数。$S\$称为该泛函的容许函数集。

函数的变换某种程度上是更一般的概念，参见算子。

例子

對偶性

觀察映射

$x_0 \mapsto f(x_0)$

是一個函數，在這裡，$x_0$是函數f的自变量。

同時，將函數映射至一個點的函數值

$f \mapsto f(x_0)$

是一個泛函，在此$x_0$是一個參數

只要 $f$ 是一個從向量空間至一個佈於實數的體的線性轉換，上述的線性映射彼此對偶，那麼在泛函分析上，這兩者都稱作線性泛函。

参见

• 线性泛函
• 最优化
• 张量

参考资料

• Rowland, Todd, Functional at MathWorld
• Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211. Revised third, New York: Springer-Verlag. 2002:  142–146, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4