泛函

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

传统上,泛函通常是指一種定義域函數,而值域为实数的「函數」。换句话说,就是从函数组成的一个向量空间实数的一个映射。也就是说它的输入为函数,而输出为实数。泛函的应用可以追溯到变分法,那里通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上,寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。

泛函分析中,泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。

S\ 是由一些函数構成的集合。所谓S\ 上的泛函就是S\ 上的一个实值函数。S\ 称为该泛函的容许函数集

函数的变换某种程度上是更一般的概念,参见算子。

例子[编辑]

對偶性[编辑]

觀察映射

 x_0 \mapsto f(x_0)

是一個函數,在這裡,x_0是函數f的自变量。

同時,將函數映射至一個點的函數值

 f \mapsto f(x_0)

是一個泛函,在此x_0是一個參數

只要 f 是一個從向量空間至一個佈於實數的的線性轉換,上述的線性映射彼此對偶,那麼在泛函分析上,這兩者都稱作線性泛函。

参见[编辑]

参考资料[编辑]