泛包絡代數

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數學中,我們可以構造任意李代數 L泛包絡代數 U(L)。李代數一般並非結合代數,但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上,泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。

泛性質[编辑]

以下固定 K。首先注意到:對任意帶乘法單位元的 K-結合代數 U,定義括積 [a,b] := ab -ba,可視 U 為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 U(L) 及一個指定的李代數同態 i: L \to L(U)。這對資料由下述泛性質刻劃:

對任意帶乘法單位元的 K-結合代數 A, 若存在李代數同態

h: L \to A

則存在唯一的代數同態

g: U(L) \to A

使之滿足

g \circ i = h

換言之,函子 L \mapsto U(L) 滿足下述關係:

\mathrm{Hom}_{\mbox{Alg.}}(U(L), A) \stackrel{\sim}{\to} \mathrm{Hom}_{\mbox{Lie alg.}}(L, A)
g \mapsto g \circ i

藉此,可視 U(-)U(單位結合代數)\mapsto U(李代數)的左伴隨函子

構造方式[编辑]

首先考慮張量代數 T(L),此時有自然的包含映射 i_0: L \to T(L)。取 I \subset T(L) 為下列元素生成的雙邊理想

 a \otimes b - b \otimes a - [a,b] \quad (a,b \in L)

定義

U(L) := T(L)/I

所求的映射 i: L \to U(L)i_0: L \to T(L) 與商映射的合成。容易驗證 i 保存李括積。

根據上述構造,可直接驗證所求的泛性質。

基本性質[编辑]

  • L 可交換,則 U(L) 亦然;此時 U(L) 同構於多項式代數。
  • L 來自李群 G,則 U(L) 可理解為 G 上的左不變微分算子。
  • U(L) 的中心 Z(U(L)) 顯然包含 i(Z(L)),但不僅如此,通常還包括更高階的元素,例如喀希米爾元素;這種元素給出李群上的拉普拉斯算子

庞加莱-伯克霍夫-维特定理[编辑]

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 L 的基 X_1, \ldots, X_n,此定理斷言

X_1^{e_1} \cdots X_n^{e_n} \quad (e_1, \ldots, e_n \in \Z_{\geq 0})

U(L) 的基。此定理的直接推論是:i: L \to U(L) 為單射。

表示理論[编辑]

在泛性質中取 A = \mathrm{End}(V),其中 V 為任意向量空間,遂可等同 L 的表示與 U(L) 的表示,後者不外是 U(L)-。藉此觀點,李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

文獻[编辑]

  • Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6