泛性质

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

在数学的很多分支,经常用“在给定某些条件下存在唯一态射”这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为泛性质英语Universal property),有时也称为万有性范畴论研究泛性质。

了解泛性质最好先研究一些例子。如:群积直和自由群积拓扑斯通-切赫紧致张量积反极限直极限上核拉回推出等子等。

定义[编辑]

U : DC为一函子,XC的对象。从XU泛态射为偶(A, φ),其中AD的对象,φ : XU(A)为C中满足如下泛性质的态射:

  • 对任意D的对象Y和任意C的态射f : XU(Y),存在唯一的态射g : AY使得下图可交换
从X到U的泛态射

态射g的存在保证A具有足够的性质,其唯一性又限制A不再有额外的性质。

使用对偶原则可得上述的对偶概念:从UX泛态射为偶(A, φ),其中AD的对象,φ : U(A) → XC的态射,满足如下泛性质

  • 对任意D的对象Y和任意C的态射f : U(Y) → X,存在唯一的态射g : YA使得下图可交换
从U到X的泛态射

注:有时后者也称为上泛态射

性质[编辑]

存在性和唯一性[编辑]

具有泛性质的构造不一定存在。给定上述函子U和对象X,从XU(或从UX)的泛态射不一定存在。然而,若其存在,则该构造在同构下唯一。也就是说,若(A′, φ′)为另一个满足该条件的泛态射,则存在唯一的同构态射g : AA′满足φ′ = U(g)φ。用(A′, φ′)代替定义中的(Y, f)易知该结论成立。

其它等价定义[编辑]

泛态射可通过其它途径定义。设U为从DC的函子,XC的对象,则下列语句等价:

  • (A, φ)为从XU的泛态射
  • (A, φ)为逗号范畴(XU)的始对象
  • (A, φ)为HomC(X, U—)的表示

其对偶语句也同样等价:

  • (A, φ)为从UX的泛态射
  • (A, φ)为逗号范畴(UX)的终对象
  • (A, φ)为HomC(U—, X)的表示

与伴随函子的关系[编辑]

设(A1, φ1)为从X1U的泛态射,(A2, φ2)为从X2U的泛态射。根据泛性质,对任意态射h : X1X2,存在唯一态射g : A1A2使得下图可交换

UniversalProperty-05.png

若对任意C的对象Xi存在到U的泛态射,则映射Xi \mapsto Aih \mapsto g确定一个函子 V : CD。此时,φi确定从1CC上的恒等函子)到U V的一个自然变换。因此(V, U)构成一对伴随函子V左伴随UU右伴随V

利用对偶原则同样可得U的右伴随函子V : CD

事实上,所有的伴随函子都产生与类似的泛构造。设FG为一对伴随函子,单位元为&eta,上单位元为&epsilon(定义见伴随函子)。任意CD的对象存在泛态射。

  • 对任意C的对象X,(F(X), ηX)为从XG的泛态射。即,对任意f : XG(Y),存在唯一g : F(X) → Y使得下图可交换。
  • 对任意D的对象Y,(G(Y), εY)为从FY的泛态射。即,对任意g : F(X) → Y,存在唯一f : XG(Y)使得下图可交换。
伴随函子对的泛性质

泛构造的概念广于伴随函子:泛构造类似优化问题,伴随函子存在当且仅当该优化问题对任何C的对象(或对任何D的对象)均存在解。

举例[编辑]

张量代数[编辑]

C为域K上的向量空间范畴 K-VectDK上的代数范畴(假定满足unitall结合律),U为将代数映射为所基向量空间的遗忘函子

给定任何基于K向量空间V,构造V张量代数T(V)。此张量代数的泛性质体现为偶(T(V), i)(其中i : VT(V)为一inclusion map)是从VU的泛态射。

由于此方法适用于任何V,因此T为从K-VectK-Alg的函子,且为U的左伴随。

[编辑]

D为一存在零态射的范畴(如群范畴),f : XYD的一态射。f为满足下列条件的任意态射k : KX

  • f k为从KY的零态射;
  • 对任意态射k′ : K′ → X,若f k′为零态射,则存在唯一态射u : K′ → K满足k u = k′。

为理解上述同泛态射的关系,定义D中态射的范畴C,对象为D的所有态射f : XY,从f : XYg : ST的态射为一对态射α : XS和β : YT构成的偶(α, β),满足βf = fα。

定义函子F : DC,映射对象K到零态射0KK : KK,映射态射r : KL到偶(r, r)。

给定D的态射f : XY(看作C的对象)及D的对象K。从F(K)到f的态射为偶(k, l)满足f k = l 0KK = 0KY(此即为上述核的泛性质)。可以看出,“从Ff的泛态射”即为核的泛性质。

极限与上极限[编辑]

极限与上极限为范畴论中重要的泛构造。设J为小范畴、C为范畴,J看作为C索引范畴。记CJ为相应的函子范畴对角函子 Δ : CCJC中每个对象N映射到常函子Δ(N) : JC to N (i.e. 对任意X属于J有Δ(N)(X) = N).

给定函子F : JC(看作CJ的对象),F的极限,若存在,即为从Δ到F的泛态射。由对偶性质,F的上极限为F到Δ的泛态射。

用途[编辑]

使用泛性质定义构造有如下优点:

  • 泛性质定义的对象在同构下唯一,因此证明两个对象同构的一个方法是找出其同时满足的泛性质。
  • 定义某构造的具体细节一般较为繁琐,利用泛性质可不考虑这些细节,证明往往变得简洁明了。
  • 如果泛构造对任何对象都存在时可确定一个函子。
  • 更进一步,该函子为U的伴随函子。此时可以利用右伴随和极限可交换(左伴随和上极限可交换)的性质。

历史[编辑]

Pierre Samuel在1948年给出了多种拓扑结构的泛性质。布尔巴基大量使用了其结论。丹尼尔·阚与1958年独立发现了与其密切相关的伴随函子概念。

参考文献[编辑]

  • Cohen, Paul M., Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
  • Mac Lane, Saunders, Categories for the Working Mathematician 2nd ed. (1998), Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.