泡利矩陣

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數學數學物理中,包立矩陣是一組三個 2 × 2 的么正哈密頓矩陣[1]一般都以希臘字母 σ 來表示,但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時,會被寫成 τ 。 他們在包立表像( σz 表像) 可以寫成:

\begin{align}
  \sigma_1 = \sigma_x &=
    \begin{pmatrix}
      0&1\\
      1&0
    \end{pmatrix} \\
  \sigma_2 = \sigma_y &=
    \begin{pmatrix}
      0&-i\\
      i&0
    \end{pmatrix} \\
  \sigma_3 = \sigma_z &=
    \begin{pmatrix}
      1&0\\
      0&-1
    \end{pmatrix}
\end{align}


這些矩陣是以物理學家沃爾夫岡·包立命名的。在量子力學中,它們出現在包立方程式中描述磁場自旋之間交互作用的一項。所有的包立矩陣都是哈密頓矩陣,它們和單位矩陣 I (有時候又被稱為為第零號包立矩陣 σ0),的線性張成為 2 × 2 哈密頓矩陣的向量空間

從量子力學的角度來看,哈密頓矩陣(算符)代表可觀測的物理量,因此, σk, k= 0,1,2,3 的線性張成代表所有作用在二維希爾伯特空間的物理量所形成的空間。從包立本人的的研究來看 , σk , k=1,2,3所代表的物理量是自旋在三維歐幾里得空間 3 中第 k 個座標軸的投影分量。

數學性質[编辑]

三個包立矩陣可以共同用一種單一形式表達:


  \sigma_a = 
    \begin{pmatrix}
      \delta_{a3}                &  \delta_{a1} - i\delta_{a2}\\
      \delta_{a1} + i\delta_{a2} & -\delta_{a3}
    \end{pmatrix}

其中 δab克羅內克函數

本徵質和本徵向量[编辑]

這些矩陣是對合的:

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I

其中 I單位矩陣

此外,包立矩陣的行列式和它們的分別為:

\begin{align}
               \det (\sigma_i) &= -1 \\
  \operatorname{Tr} (\sigma_i) &= 0 
\end{align}

故從上述關係可以推得每個包立矩陣 σi本徵值分別為 ±1。

每個包立矩陣有兩個本徵值,+1 和 −1,其對應的歸一化本徵向量為:

\begin{array}{lclc}
  \psi_{x+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix} & \psi_{x-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix} \\
  \psi_{y+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix} & \psi_{y-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix} \\
  \psi_{z+}=                                          & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix} & \psi_{z-}=                                          & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}.
\end{array}

包立向量[编辑]

包向量定義為: \vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,

這個定義提供了將一般向量基底對應到包立矩陣的基底的機制

\begin{align}
  \vec{a} \cdot \vec{\sigma} &= (a_i \hat{x}_i) \cdot (\sigma_j \hat{x}_j ) \\
                             &= a_i \sigma_j \hat{x}_i \cdot \hat{x}_j \\
                             &= a_i \sigma_j \delta_{ij} \\
                             &= a_i \sigma_i
\end{align}

相同的下標是使用了愛因斯坦求和約定。此外:

\det \vec{a} \cdot \vec{\sigma}  = - \vec{a} \cdot \vec{a}= -|\vec{a}|^2.

對易關係[编辑]

包立矩陣有以下的對易關系:

[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c \, ,

以及以下的反對易關係。

\{\sigma_a, \sigma_b\} = 2 \delta_{a b}\,I.

其中 εabc列維-奇維塔符號δab克羅內克函數, 是 I 是 2 ×2 的單位矩陣。 而一樣的,上面使用了愛因斯坦求和約定。

和內積、外積的關係[编辑]

將包立矩陣的對易反對易相加得:

 \begin{align} 
  \left[\sigma_a, \sigma_b\right] + \{\sigma_a, \sigma_b\}  &= (\sigma_a \sigma_b - \sigma_b \sigma_a ) + (\sigma_a \sigma_b + \sigma_b \sigma_a) \\
    2i\sum_c\varepsilon_{a b c}\,\sigma_c + 2 \delta_{a b}I &= 2\sigma_a \sigma_b 
\end{align}

因此可得:

 \sigma_a \sigma_b = i\sum_c\varepsilon_{a b c}\,\sigma_c + \delta_{a b}I

為了避免符號重複,將a, b, c 改成 p, q, r, 然後把上式和三維向量 apbq 內積,可得:

 \begin{align} 
  a_p b_q \sigma_p \sigma_q & = a_p b_q \left(i\sum_r\varepsilon_{pqr}\,\sigma_r + \delta_{pq}I\right) \\
  a_p \sigma_p b_q \sigma_q & = i\sum_r\varepsilon_{pqr}\,a_p b_q \sigma_r + a_p b_q \delta_{pq}I
\end{align}

將它轉換成向量積的表達式:

(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \, I + i ( \vec{a} \times \vec{b} )\cdot \vec{\sigma}

包立向量的指數[编辑]

\vec{a} = a \hat{n} ,而且  |\hat{n}|=1 對於偶數 n 可得: (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \,

另外加上之前求得在 n = 1 的情況可在 n 為基數的情況:

(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \,

利用矩陣指數的概念,加上正弦餘弦泰勒級數展開式,可得:

\begin{align}
  e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} &= \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n \left[a (\hat{n} \cdot \vec{\sigma})\right]^n}{n!}} \\
                                      &= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n}}{(2n)!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n + 1}}{(2n + 1)!}} \\
                                      &= I\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{(2n)!}} + i \hat{n}\cdot \vec{\sigma} \left(\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n + 1)!}}\right)\\
\end{align}

第一項的總和為 \cos{a},第二項括號裡的總和是 \sin{a},於是:

   

e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = I\cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,

 

 

 

 

(2)

   

這可以看做是歐拉公式的類比。


完備性關係[编辑]

另一個常用來區別包利矩陣的方法是用上標 i,用不同的i來代表不同的包利矩陣,而下標則代表不同的矩陣元素。因此第 i 個包利矩陣的第 α 行第 β 列的元素可表示為 σ iαβ

利用這種表示方法,包利矩陣的完備性關係可寫作:

\vec{\sigma}_{\alpha\beta}\cdot\vec{\sigma}_{\gamma\delta}\equiv \sum_{i=1}^3 \sigma^i_{\alpha\beta}\sigma^i_{\gamma\delta} = 2 \delta_{\alpha\delta} \delta_{\beta\gamma} - \delta_{\alpha\beta}\delta_{\gamma\delta}.\,

有時習慣上將 2 × 2 單位舉寫成 σ0,也就是,σ0αβ = δαβ。如此一來完備性關係可以更為簡潔的表示成:

\sum_{i=0}^3 \sigma^i_{\alpha\beta}\sigma^i_{\gamma\delta} = 2 \delta_{\alpha\delta} \delta_{\beta\gamma}\,.

和換位算符的關係[编辑]

令算符Pij換位算符(或稱為置換算符)。對於兩個在張量積空間 2 ⊗ ℂ2 中的自旋 σiσj 該算符有:

P_{ij}|\sigma_i \sigma_j\rangle =  |\sigma_j \sigma_i\rangle \,

的關係。這個算符可以更進一步的用包立矩陣來表示:

P_{ij} = \tfrac{1}{2}(\vec{\sigma}_i\cdot\vec{\sigma}_j + 1)\,

該算符有兩個本徵值,分別 1 和 -1 ,這個算符可以用於代表某些哈密頓量的交互作用項,產生對稱和反對稱的本徵態分裂的效果。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

[编辑]

  1. ^ Pauli matrices. Planetmath website. 28 March 2008 [28 May 2013].