波函数

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量子力學

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

入門、數學表述        背景 古典力學、舊量子論、干涉 哈密頓量、狄拉克符號 基本概念 量子態、波函數、態向量 態疊加原理、波粒二象性 埃倫費斯特定理、量子纏結 包立不相容原理、量子脫散 量子穿隧效應、量子測量 實驗 薛丁格的貓、雙縫實驗 戴維森-革末實驗 施特恩-格拉赫實驗 貝爾定理的實驗驗證 波普爾實驗、量子擦除器 構想 薛丁格繪景、海森堡繪景 交互作用繪景、矩陣力學 求和的歷史 方程式 薛丁格方程式、包立方程式 克萊因-戈登方程式 狄拉克方程式 詮釋 哥本哈根詮釋、系綜詮釋 隱變數、交易詮釋 多世界詮釋、一致性歷史 德布罗意-玻姆理论 量子邏輯 進階理論 量子場論、量子重力 萬有理論 科學家 普朗克、玻尔、埃倫費斯特 海森堡、薛丁格、德布羅意 玻恩、愛因斯坦、艾弗雷特 索末菲、馮·诺伊曼、費曼 狄拉克、維恩、玻姆、其他

在這篇文章內，向量與其量值分別用粗體與斜體表示；例如，$\left| \mathbf{r} \right| = r\,\!$ 。

波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。

波函数用 $\Psi (\mathbf{r},t)$ 表示，通常是一个复函数。它满足如下的所谓薛定谔方程：

$i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r},t)}{\partial t}=\hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$

其中 $\hat{H}$ 是哈密顿算符。并且 $\hat{H}=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\nabla ^2+U$ 。U 是系统的势能。

波函数的概率诠释

波函数 $\Psi (\mathbf{r},t)$ 是概率波。其模的平方 $\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,$ 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

$\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1$

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。

波函数的本征值和本征态

在量子力学中，可观察量A以算符 $\hat{A}$ 的形式出现。$\hat{A}$ 代表对波函数的一种运算。

例如，在坐标表象下，动量算符 $\hat{\vec{p}}=-i\hbar\nabla$

如下方程称为力学量A的本征方程：

$\hat{A}\psi=A\psi$

对应的A称为力学量 $\hat{A}$ 的本征值，ψ 称为力学量 $\hat{A}$ 的本征态。如果测量位于 $\hat{A}$ 的本征态 ψ 上的力学量 A，那么它的值是唯一确定的。

态叠加原理

如果 ψ₁ 是体系的一个本征态，对应的本征值为 A₁ ，ψ₂ 也是体系的一个本征态，对应的本征值为 A₂ ，那么 ψ = C₁ψ₁ + C₂ψ₂ 是体系一个可能的存在状态，如果在这个状态下对力学量A进行测量，测量到的A值既有可能是 A₁ 也有可能是 A₂ ，相应的概率之比为 $\frac{\vert C_{1}\vert ^2}{\vert C_{2}\vert ^2}$ 。A 的平均值为 $\langle A\rangle=\int\psi^{*}\hat{A}\psi d^{3}\mathbf{r}$ 。或者采用狄拉克符号记为 $\langle\psi |\hat{A}|\psi\rangle$

定态问题

在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 $\hat{H}$ 不是时间的函数的情况。这时，$\Psi (\mathbf{r},t)$ 可以分解成一个只与空间有关的函数和一个只与时间有关的函数乘积，即 $\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t)$ 。把它代入薛定谔方程，就会得到 $f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}$ 。而 $\psi(\mathbf{r})$ 则满足如下方程：

$\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})$

称为能量本征方程。

参看

• 波包
• 玻色子
• 费米子
• 薛定谔方程