波包

一個正在傳播中，非色散的波包。

在物理學裏，波包（wave packet）是一群平面波在空間的一個小區域內的疊和。這些平面波都有不同的波數、波長、相位、波幅，都分別地建設性干涉於空間的一個小區域。波包是以一個整體的形式傳播於空間，又稱為「波列」。依據不同的演化方程式，在傳播的時候，波包的包絡線（素描波包輪廓的曲線）可能會保持不變（沒有色散，如圖右），或者包絡線會改變（有色散）。在量子力學裏，波包有個特別的意思：波包被詮釋為粒子的機率波，而在任何位置，任何時間，機率波波幅的絕對值的平方，就是在那個位置，那個時間，找到粒子的機率密度。在這方面，它的功能類似波函數。

類似在經典力學裏的哈密頓表述，在量子力學裏，應用薛丁格方程式，我們可以追溯一個量子系統隨著時間的演化。波包是薛定谔方程式的數學解答。在某些區域內，波包所囊括的面積的平方，可以銓釋為找到粒子處於那區域的機率密度。

採用坐標表現，波包的位置給出了粒子的位置。波包越狹窄，粒子的位置越明確，而動量的分佈越擴散。這位置的明確性和動量的明確性，兩者之間的輕重取捨是海森堡不確定原理的一個標準例子。

背景

早在十七世紀，牛頓就已創始地建議光的粒子觀：光的移動是以離散的束包形式，稱為光微粒。可是，在許多實驗中，光表現出了波動行為。這使科學家們漸漸地傾向於波動觀，認為光是一種傳播於介質中的波動。特別著名的一個實驗是英國科學家托馬斯·楊在 1801 年設計與研究成功的雙狹縫實驗。這實驗試圖解答光到底是粒子還是波動的問題。從這實驗觀測到的干涉圖案給予光的粒子觀一個致命的打擊。大多數的科學家從此接受了光的波動觀。

在 20 世紀初期，科學家開始發現經典力學內在的許多嚴重的問題，許多實驗的結果，都無法用經典理論來解釋。一直到 1930 年代，光的粒子性，才真正地被物理學家廣泛接納。在這段時間，量子力學如火如荼的發展，造成了許多理論上的突破。許多深奧的實驗結果，都能夠得到圓滿合理的解釋。例如，1905 年，愛因斯坦對光電效應的理論解析。

量子力學表述的最重要的概念之一，就是，光是以離散的一堆堆形式存在，稱為光子。光子的能量 $E\,\!$ 是頻率 $f\,\!$ 的離散函數：

$E =nhf \,\!$ ；

其中，$n\,\!$ 是正值整數，$h\,\!$ 是普朗克常數。

光子的離散能量概念，化解了經典力學一個很嚴重的問題，就是紫外災難。

在整個二十世紀，量子力學蓬勃的持續發展。它所展現的一幅圖畫，是一個粒子的世界。在這世界裏，所有的物質都是由粒子造成的，所有的現象都是由粒子的互相作用產生的，這些粒子的量子行為都可以用機率波來描述。所有的量子行為都被約化為這些機率波的數學計算。量子世界的粒子本質以被許多實驗證實，而波動現象可以被描繪為粒子的波包本質的特徵。

波包計算範例

擧一個非色散傳播的範例，思考波動方程式：

$\nabla^2 u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\,\!$ ；

其中，$u\,\!$ 是波動函數，$t\,\!$ 是時間，$v\,\!$ 是波動在某介質裏的傳播速度。

採用物理時間常規 $e^{- i\omega t}\,\!$ ，波動方程式的平面波解答是

$u(\mathbf{x},\,t) = e^{i{(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} - \omega t)} \,\!$ ；

其中，$\mathbf{x}\,\!$ 是位置向量，$\mathbf{k}\,\!$ 是波數向量，$\omega\,\!$ 是角頻率。

為了滿足平面波為波動方程式的解答，角頻率和波數的色散關係式必須成立：

$\omega^2 =|\bold{k}|^2 v^2\,\!$ 。

為了簡化計算，只思考一維空間的波動，則波動方程式的一般解答是，

$u(x,\,t)= A e^{i(kx - \omega t)} + B e^{ - i(kx+\omega t)} \,\!$ ；

其中，方程式右邊的第一項目表示往正 $x\,\!$ 方向傳播的波動，第二項目表示往負 $x\,\!$ 方向傳播的波動。

一個波包是一群波動的疊和，所產生的局部區域的擾亂。假若，波包是強勁存在於局部區域，那麼，我們需要更多的頻率來達成局部區域內的建設性疊加，與局部區域外的破壞性疊加。這樣，從一個基本的波解答，一個一般的波包可以表達為

$u(x,\,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ dk \,\!$ ；

其中，因子 $1/\sqrt{2\pi} \,\!$ 是由傅立葉變換的常規而設定，振幅 $A(k)\,\!$ 是線形疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數可以表達為

$A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} u(x,\,0) ~ e^{ - ikx}\,dx \,\!$ ；

其中，$u(x,\,0)\,\!$ 是波包在初始時間 $t=0\,\!$ 的函數形式。

所以，知道波包在時間 $t=0\,\!$ 的函數形式 $u(x,\,0)\,\!$ ，借由傅立葉變換，我們可以推演出波包在任何時間的函數形式 $u(x,\,t)\,\!$ 。

例如，選擇初始時間的函數形式為

$u(x,\,0) = e^{ - x^2 +ik_0 x}\,\!$ 。

經過一番運算，可以得到

$A(k) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{(k-k_0)^2}{4}}\,\!$ 、

$u(x,\,t) = e^{-(x-vt)^2 +ik_0(x-vt)}\,\!$ 。

這個波包的實值部分或虛值部分的非散色傳播展示於前面動畫。

再擧一個有色散傳播例子，思考薛丁格方程式，

$i{ \partial u \over \partial t } = - \frac{1}{2} { \nabla^2 u }\,\!$ 。

其解答的色散關係式為

$\omega = \frac{1}{2}|\bold{k}|^2\,\!$ 。

簡化問題為一維問題。經過一番運算，滿足初始條件 $u(x,\,0) = e^{ - x^2 +ik_0x}\,\!$ 的解答是

$u(x,\,t) =\frac{e^{ - k_0^2/4}}{\sqrt{1+2it}} e^{ - (x - \frac{ik_0}{2})^2/(1+2it)}\,\!$ 。

觀察這波包的色散行為。取解答的絶對值，

$|u(x,\,t)| = \frac{1}{(1+4t^2)^{1/4}}e^{\frac{ - x^2+2k_0 xt}{1+4t^2}}\,\!$ 。

這色散波包傳播的群速度是常數 $k_0\,\!$ 。波包的寬度相依於時間，根據公式 $(1+4t^2)^{1/2}\,\!$ 隨著時間增加。

參考文獻

• J. D. Jackson (1975). Classical Electrodynamics (2nd Ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43132-X.
• Leonard I. Schiff (1968). Quantum mechanics (3rd ed.). London : McGraw-Hill.

參閱

• 群速度
• 相速度