波包

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
實線是波包,虛線是波包的包絡。當波包傳播於空間時,包絡以群速度移動。

在任意時刻,波包wave packet)是局限在空間的某有限範圍區域內的波動,在其它區域的部分非常微小,可以被忽略。波包整體隨著時間流易移動於空間。波包可以分解為一組不同頻率波數相位波幅正弦波,也可以從同樣一組正弦波構成;在任意時刻,這些正弦波只會在空間的某有限範圍區域相長干涉,在其它區域會相消干涉[1]:53-56[2]:312-313描繪波包輪廓的曲線稱為包絡線。依據不同的演化方程,在傳播的時候,波包的包絡線(描繪波包輪廓的曲線)可能會保持不變(沒有色散),或者包絡線會改變(有色散)。

量子力學裏,波包可以用來代表粒子,表示粒子的機率波;也就是說,表現於位置空間,波包在某時間、位置的波幅平方,就是找到粒子在那時間、位置的機率密度;在任意區域內,波包所囊括面積的絕對值平方,就是找到粒子處於那區域的機率。粒子的波包越狹窄,則粒子位置的不確定性越小,而動量的不確定性越大;反之亦然。這位置的不確定性和動量的不確定性,兩者之間無可避免的關係,是不確定性原理的一個標準案例。[1]:53-56

描述粒子的波包滿足薛定諤方程,是薛定諤方程的數學解。通過含時薛定諤方程,可以預測粒子隨著時間演化的量子行為。這與在經典力學裏的哈密頓表述很類似。[3]:123

歷史背景[编辑]

早在十七世紀,艾薩克·牛頓就提出了光微粒說,即光是由很多離散的粒子所構成,其中每一個粒子都遵守牛頓運動定律。他的主要反對者羅伯特·虎克克里斯蒂安·惠更斯則主張光波動說:光是一種傳播於介質中的波動。十九世紀,物理學者發現,在許多實驗中,光表現出波動行為。其中一個特別著名的實驗是雙縫實驗,這是英國物理學者托馬斯·楊於1801年完成的實驗。從這實驗觀察到的干涉圖樣給予光微粒說嚴重打擊,因為光微粒說無法說明這現象,而光波動說可以。很多物理學者因此改變立場,採納了光波動說。

在20世紀初,科學家發現古典力學存在著很多嚴峻問題,越來越多實驗結果無法用古典理論來解釋。到了1930年代,物理學者開始採納波粒二象性,即物質具有波動性與粒子性。在這段時期,量子力學如火如荼的發展造成了理論方面的重大突破。許多困惑物理學者多年的實驗結果,都能夠得到圓滿合理的解釋。例如,1905年,阿爾伯特·愛因斯坦光電效應的理論解析。按照愛因斯坦的理論解析,光的能量並非均勻分布,而是負載於離散的量子包,現稱為光子。每個光子的能量E頻率\nu之間的關係為

 E =h\nu

其中,h普朗克常數

在光電效應裏,光子的頻率必須超過被衝擊金屬的特徵極限頻率(對應於金屬的逸出功),才能使金屬表面的電子獲得足夠能量逃逸出來,否則,不論輻照率有多高,都無法使得電子從金屬表面逃逸出來。

二十世紀,量子力學持續地蓬勃發展。它所展現的繪景是一種粒子世界。在這粒子世界裏,每一種物質都是由粒子形成,每一種現象都是由粒子彼此互相作用而產生;可是,這些粒子的量子行為都是用機率波來描述。所有的量子行為都被約化為這些機率波的演化。至今,量子世界的粒子性已被許多實驗證實,波動現象可以被詮釋為粒子的波包秉性的特徵後果。

範例[编辑]

非色散傳播[编辑]

一個正在傳播中,非色散的波包。

擧一個非色散傳播範例,思考波動方程式

\nabla^2 u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}

其中,u是波動函數,t是時間,v是波動在某介質裏的傳播速度。

採用物理時間常規e^{- i\omega t},波動方程式的平面波解是

 u(\mathbf{x},\,t) = e^{i{(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} - \omega t)}

其中,\mathbf{x}是位置向量,\mathbf{k}波數向量,\omega角頻率

為了滿足平面波為波動方程式的解,角頻率和波數的色散關係

\omega^2 =|\bold{k}|^2 v^2=(k_x^2+k_y^2+k_z^2)v^2

為了便於計算,只考慮波傳播於一維空間,則波動方程式的一般解是

 u(x,\,t)= A e^{i(kx - \omega t)} + B e^{ - i(kx+\omega t)}

其中,方程式右邊的第一項表示往正x方向傳播的波動,第二項表示往負x方向傳播的波動。

波包是在局部區域裏一組波的疊加。假若,波包是強勁存在於局部區域,則需要更多的頻率來達成局部區域內的相長疊加,與局部區域外的相消疊加。這樣,從基本平面波解,一般的波包可以表示為

 u(x,\,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ dk

其中,因子1/\sqrt{2\pi} 是由傅立葉變換的常規而設定,振幅A(k)是線形疊加的係數函數。

逆反過來,係數函數可以表達為

 A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} u(x,\,0) ~ e^{ - ikx}\,dx

其中,u(x,\,0)是波包在初始時間t=0的函數形式。

所以,知道波包在時間t=0的函數形式u(x,\,0),應用傅立葉變換,可以計算出波包在任何時間的函數形式u(x,\,t)

例如,選擇初始時間的函數形式為

 u(x,\,0) = e^{ - x^2 +ik_0 x}

經過一番運算,可以得到

 A(k) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\frac{(k-k_0)^2}{4}}
 u(x,\,t) = e^{-(x-vt)^2 +ik_0(x-vt)}

這個波包的實值部分或虛值部分的非散色傳播展示於前面動畫。

色散傳播[编辑]

再擧一個有色散傳播例子,思考薛丁格方程式,

i{ \partial u \over \partial t } = - \frac{1}{2} { \nabla^2 u }

其色散關係為

 \omega = \frac{1}{2}|\bold{k}|^2

只考慮一維問題。經過一番運算,滿足初始條件u(x,\,0) = e^{ - x^2 +ik_0x}的解是

 u(x,\,t) =\frac{e^{ - k_0^2/4}}{\sqrt{1+2it}}\ e^{ - (x - \frac{ik_0}{2})^2/(1+2it)}

觀察這波包的色散行為。取 u(x,\,t)的絶對值,

|u(x,\,t)| = \frac{1}{(1+4t^2)^{1/4}}e^{\frac{ - x^2+2k_0 xt}{1+4t^2}}

這色散波包傳播的群速度是常數k_0。波包的寬度跟時間有關,根據公式 (1+4t^2)^{1/2}隨著時間增加。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Joy Manners. Quantum Physics: An Introduction. CRC Press. 2000. ISBN 978-0-7503-0720-8. 
  2. ^ Hecht, Eugene, Optics. 4th, United States of America: Addison Wesley. 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英文) 
  3. ^ Toda, Mikito. Geometric structures of phase space in multidimensional chaos.... Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons inc. 2005. ISBN 0-471-70527-6. 
  • J. D. Jackson (1975). Classical Electrodynamics (2nd Ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43132-X.
  • Leonard I. Schiff (1968). Quantum mechanics (3rd ed.). London : McGraw-Hill.