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波形因數

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波形因數英文Form factor)是交流訊號中的一個無因次量,可以用k_f來表示,是訊號的均方根值和整流平均值的比值[1]。波形因數是相同功率的直流訊號和原交流訊號整流後平均值的比值[2]

計算[编辑]

對於一個理想的,對時間T連續的函數,其均方根可以表示為以下的積分[3]


X_{rms} = \sqrt {{1 \over {T}} {\int_{t_0}^{t_0+T} {[f(t)]}^2\, dt}}

整流平均值為函數絕對值的平均[3]


X_{arv} = {1 \over {T}} {\int_{t_0}^{t_0+T} {|x(t)|\, dt}}

兩者的比值即為波形因數k_f


k_f = \frac{RMS}{ARV} = \frac{\sqrt {{1 \over {T}} {\int_{t_0}^{t_0+T} {[f(t)]}^2\, dt}}}{{1 \over {T}} {\int_{t_0}^{t_0+T} {|x(t)|\, dt}}} = \frac{\sqrt{T\int_{t_0}^{t_0+T}{{[f(t)]}^2\, dt}}}{\int_{t_0}^{t_0+T} {|x(t)|\, dt}}

應用[编辑]

數位式的交流量測設備一般是針對弦波而設計的,例如許多交流電表會特別針對弦波的均方根值來進行調整。由於很難利用數位方式計算一訊號的均方根值,一般會改為計算弦波訊號的整流平均值,然後再乘以弦波的波形因數。不過若利用此方法計算其他波形的均方根值,會得到較不精確的結果[4]

性質[编辑]

波形因數是訊號的均方根值和整流平均值的比值,因此二個值之間類似及不同的性質決定了波形因數的性質。

例如均方根值和整流平均值都和振幅a成正比,不過波形因數是二者相除,因此不受振幅的影響。一個特定的波形,若不失真的放大或縮小N倍,其波形因數不變。

均方根值計算時會用到訊號的平方,而整流平均值會用到訊號的絕對值,二者都不受正負號的影響。因此波形因數也不受正負號的影響,一個平均值為零的方波和其整流後的訊號,其波形因數相等。

波形因數是訊號的均方根值和整流平均值的比值,此外還有二個類似定義的因數:

  • 峰值因數k_a = \frac{X_{max}}{X_{rms}},最大值和均方根值的比值。
  • 平均因數:k_{av} = \frac{X_{max}}{X_{arv}},最大值和整流平均值的比值,較少用到。

波形因數是三個因數中最小的一個:

k_{av} \ge k_a \ge k_f[2]

由於他們的定義都和最大值、均方根值和整流平均值有關,三個因數間有以下的關係:

k_{av} = k_ak_f,[2]

因此也可以用峰值因數和平均因數來表示波形因數:

k_f = \frac{k_a}{k_{av}}.

特定波形的波形因數[编辑]

若用a表示波形的振幅,由於均方根值和整流平均值都和振幅成正比,二者對波形因數的影響恰好互相抵消,因此波形因數和振幅無關。像8sin(t)sin(t)的波形因數相等,因此可以用正規化,振幅為1的波形來計算波形因數。

波形 波形圖 RMS ARV 波形因數
弦波 Simple sine wave.svg \frac{a}{\sqrt{2}}[2] a\frac{2}{\pi}[2] \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11072073[3]
半波整流的弦波 Simple half-wave rectified sine.svg \frac{a}{2} \frac{a}{\pi} \frac{\pi}{2} \approx 1.5707963
全波整流的弦波 Simple full-wave rectified sine.svg \frac{a}{\sqrt{2}} a\frac{2}{\pi} \frac{\pi}{2\sqrt{2}}
方波(占空比50%) Square wave.svg a a \frac{a}{a} = 1
脈波英语Pulse wave Pulse wide wave.svg a\sqrt{D}[5] aD \frac{1}{\sqrt{D}} = \sqrt{\frac{T}{\tau}}
三角波 Triangle wave.svg \frac{a}{\sqrt{3}}[5] \frac{a}{2} \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15470054
鋸齒波 Sawtooth wave.svg \frac{a}{\sqrt{3}} \frac{a}{2} \frac{2}{\sqrt{3}}
白雜訊 U(-1,1) \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{1}{2} \frac{2}{\sqrt{3}}

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Stutz, Michael. Measurement of AC Magnitude. BASIC AC THEORY. [30 May 2012]. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Dusza, Jacek; Grażyna Gortat, Antoni Leśniewski. Podstawy Miernictwa (Foundations of Measurement). Warszawa: Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej. 2002: 136–142, 197–203, 323. ISBN 83-7207-344-9 (Polish). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Jędrzejewski, Kazimierz. Laboratorium Podstaw Pomiarow. Warsaw: Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej. 2007: 86–87. ISBN 978-83-7207-4 (Polish). 
  4. ^ Tanuwijaya, Franky. True RMS vs AC Average Rectified Multimeter Readings when a Phase Cutting Speed Control is Used. Esco Micro Pte Ltd. [2012-12-13]. 
  5. ^ 5.0 5.1 Nastase, Adrian. How to Derive the RMS Value of Pulse and Square Waveforms. [9 June 2012]. 

外部連結[编辑]