波斯尼科夫塔

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代数拓扑同伦论中,波斯尼科夫塔Postnikov Tower或称:波斯尼科夫系统)是关于CW复形在同伦意义下进行分解的一种方法。形象地说,给定一个连通的CW复形\;X\;\;X\;可以分解成一系列CW复形的逼近,使得每一个复形都是它前面一个复形和一个Eilenberg-McLane空间(Eilenberg-McLance space)的纤维丛乘积。

具体地说,我们有如下定理:

定理: 任给一个连通的CW复形\;X\;,记其\;q\;同伦群\;\pi_q\;。对于每一个自然数\;n\;,存在一组的纤维丛\;Y_q\to Y_{q-1},1<q\le n\;,其纤维(fiber)为\;K(\pi_q,q)\;,和CW映射\;X\to Y_q\;,使得

  1. 如下图表可交换:
    Postnikov tower.PNG
  2. \;X\to Y_q\;诱导了阶数小于等于\;q\;的同伦群的同构。

在上面的定理中,\;K(\pi_q,q)\;为Eilenber-McLance空间,即\;q\;同伦群为\;\pi_q\;,其余为0的CW复形。我们称上面的纤维丛序列为Postnikov塔,并且有

\; X\simeq \lim_{\longleftarrow} Y_n.\;

构造[编辑]

上述定理的证明过程实际上就是波斯尼科夫塔的构造过程。我们从构造\;Y_n\;开始:实际上,对于\;X\;,我们不停地往其上贴维数大于\;n\;的胞腔使得\;X\;的大于\;n\;阶的同伦群都变得平凡,记之为\;Y_n\;,则我们有

\;\pi_q(X)\cong \pi_q(Y_n),\quad q\le n.\;

按照同样的方法,我们可以构造\;Y_{n-1},\cdots,Y_1\;,并且有

\;X\subset Y_n\subset Y_{n-1}\subset\cdots\subset Y_2\subset Y_1,\;

代数拓扑里面的一个定理说,每一个包含映射实际上都可以看成一个纤维丛,那么把上面这一串包含映射转换成纤维丛的语言,就得到Postnikov塔,并且可以证明每个纤维都是一个Eilenberg-McLane空间\;K(\pi_q,q)\;

应用[编辑]

如前所述,波斯尼科夫塔给出了CW复形的一种同伦意义下的分解。原则上,根据同伦正合列(homotopy exact sequence)或者塞尔谱序列我们可以根据一个CW复形的波斯尼科夫塔计算出该复形的同伦群和同调群

虽然如此,波斯尼科夫塔的应用要等到 D. Quillen,陈国才(K.-T. Chen)特别是 D. Sullivan的有理同伦论(rational homotopy theory)发展以后才能够得到更加精妙的应用。

自1980年代以来,物理特别是量子场论的思想非常深刻地影响了数学的发展。物理学家所用的一些工具,以及思考问题的方法在同伦论中也有所反映。波斯尼科夫塔,有理同伦论,还有前后出现的Stasheff的同伦结合性(homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的operad概念,等等,经过量子场论的重新考察,已经非常紧密地联系起来,成为代数拓扑里面一个非常活跃的研究领域。

资料[编辑]

关于一般的代数拓扑的书,可以参考

  • R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. 此书在中国大陆有影印本,由世界图书出版公司发行。

关于有理同伦论,特别是Sullivan的思想以及跟Postnikov塔的关系,可以参考

  • P. Griffiths and J. Morgan, Rational homotopy theory and differential forms. Progress in Mathematics, 16. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981.

关于代数拓扑跟量子场论的密切关系,可以参考M. Atiyah, G. Segal以及Kontsevich等人的论文。