波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

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波爾查諾-魏爾施特拉斯定理数学拓扑学實分析中用以刻劃 \mathbb{R}^n中的緊集的基本定理,得名於數學家伯納德·波爾查諾卡爾·魏爾施特拉斯。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明,有限维向量空间\mathbb{R}^n中的一個子集E序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)当且仅当E有界閉集

历史[编辑]

这个定理最早由伯纳德·波尔扎诺证明,當他在證明介值定理時,附帶證明了這個定理,但是他的证明已经散佚。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔扎诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

基础概念[编辑]

  • 子列:也称为子序列。一个序列(a_n)_{n\in\mathbb{N}}的一个子列是指在(a_n)_{n\in\mathbb{N}}中抽取无穷多个元素,然后按照它们在原来序列里的顺序排列起来的序列。严格的定义是:如果存在一个从\mathbb{N}\mathbb{N}的严格单调递增的映射\phi,使得b_{\phi (n)} = a_n, \; \forall n\in\mathbb{N},就称(b_n)_{n\in\mathbb{N}}(a_n)_{n\in\mathbb{N}}的一个子列。
  • 有界闭集:\mathbb{R}^n中的有界闭集概念建立在给定的拓扑度量上的。由于在有限维向量空间中所有度量等价,所以可以将\mathbb{R}^n视为装备了欧几里德度量度量空间(并且可以定义相应的范数)。\mathbb{R}^n的子集E有界,当且仅当所有E中元素x范数小于一个给定常数K。注意这时对应的拓扑是欧几里德范数诱导的自然拓扑。
  • 序列紧致:称一个集合S是序列紧致的,是指每个由集合S中元素所组成的数列都包含收敛的子列,并且该子列收敛到集合S中的某个元素。

定理[编辑]

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可以视为刻画有限维向量空间\mathbb{R}^n中序列紧致集合的定理。波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的核心部分可以仅仅使用序列的语言来表示:

定理 1

任一\mathbb{R}^n中的有界序列(a_n)_{n\in\mathbb{N}}都至少包含一个收敛的子列。[1]:56

从这个定理出发,在给定的有界闭集F中任取一个序列,那么这个序列是有界的,从而至少包含一个收敛的子列。而从F的封闭性可知,这个子列作为F的一部分,其收敛的极限必然也在F中。所以可以推知:

推论

任一\mathbb{R}^n中的有界闭集必然序列紧致。[1]:163

这个推论给出了\mathbb{R}^n中集合序列紧致的充分条件。另一方面,可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件:

定理 2

\mathbb{R}^n中的一个子集E是序列紧致的,当且仅当E是有界闭集。[1]:163

由于有限维赋范向量空间都与装备了欧几里德范数的\mathbb{R}^n同胚,所以以上的定理都可以扩展到任意有限维赋范向量空间。[2]:132

证明[编辑]

证明的关键是定理的核心部分,也就是定理1:任一\mathbb{R}^n中的有界序列(a_n)_{n\in\mathbb{N}}都至少包含一个收敛的子列。

引理

任何实数列必然包含单调的子列。[1]:55

引理的证明[1]:55-56

设有实数列(a_n)_{n \in \mathbb{N}},定义集合:X = \{ a_k ; \ \forall n \ge k , \ a_k \ge a_n \}。集合中的每个元素,都比序列中排在其后的所有元素都大。

  • 如果X中有无限个元素,在其中取下标递增的一个数列,那么这个数列是(a_n)_{n \ge 0}的子列,并且单调递减,构造完毕。
  • 如果X中元素个数有限,那么设NX中元素的下标中最大的一个。对任意n > N,考虑a_na_n不在集合X中,所以a_n之后至少会有一个元素大于a_n。换句话说,序列(a_n)_{n \in \mathbb{N}}里面排在a_N後面的任一元素,它後面都必然还有一个比它大的元素。于是取k_0 = N+1\scriptstyle k_1 > k_0为第一个大于a_{k_0}的元素的下标,\scriptstyle k_2 > k_1为第一个大于a_{k_1}的元素的下标,依此类推,就可以得到(a_n)_{n \in \mathbb{N}}的一个单调递增的子列。

综上可得,任何实数列必然包含单调的子列。

定理的证明[1]:447

先考虑一维(也就是n = 1)的情况。给定有界的实数列(a_k)_{k \in \mathbb{N}},取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增,由于数列有上界,依据数列的单调收敛定理,这个子列必然收敛。

对于高维(n \geqslant 2)的情况,证明的思路是取多次子列。

(a_k)_{k\in \mathbb{N}} = (a_{1k} , a_{2k} , \cdots , a_{nk})_{k\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^n为一个有界序列,则n个实数列(a_{ik})_{k\in \mathbb{N}} , 1 \le i \le  n都是有界数列。于是存在(a_k)_{k\in \mathbb{N}}的子列(a_{\phi_1 ( k)})_{k \in \mathbb{N}}使得(a_{1 \phi_1 (k)})_{k\in \mathbb{N}}收敛。但是(a_{\phi_1 ( k)})_{k\in \mathbb{N}}仍是有界数列,因而存在子列(a_{\phi_2 (\phi_1 ( k))})_{k\in \mathbb{N}}使得(a_{2 \phi_2 (\phi_1 (k))})_{\in \mathbb{N}}也收敛(注意这里(a_{1 \phi_2 (\phi_1 (k))})_{k\in \mathbb{N}}必然是收敛的)。在进行类似的n次操作后,我们就可以得到一个子列,使得\forall 1 \le i \le n, \ (a_{i \phi_n ( \cdots \phi_2 (\phi_1 (k)) \cdots  )})_{k\in \mathbb{N}}都收敛,也就是说存在子列 \ (a_{\phi_n ( \cdots \phi_2 (\phi_1 (k)) \cdots )})_{k\in \mathbb{N}}收敛。证毕。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质[编辑]

在有限维度量空间中,波尔查诺-魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中,有界闭集不一定是序列紧致的。为此,拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。

定义

K为度量空间(E ; \; d)的子集。若K中任一序列(a_n)_{n\in\mathbb{N}}都包含一个收敛的子列,其极限也是K中元素,就称K具有波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质。[1]:598

如果度量空间本身满足波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质,就称这个度量空间为紧空间。在测度空间中,波尔查诺-魏尔斯特拉斯性质等价于海恩-波莱尔性质:所有K开覆盖有限子覆盖[1]:602

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner. Elementary Real Analysis. CreateSpace. 2008. ISBN 9781434843678 (英文). 
  2. ^ Mustafa A. Akcoglu, Paul F.A. Bartha, Dzung Minh Ha. Analysis in Vector Spaces. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 9781118164594. 
  • Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

外部連結[编辑]