波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理

在實分析中，波爾查諾-魏爾施特拉斯定理是用以刻劃 $\mathbb{R}^n$ 中的緊集的基本定理。此定理得名於數學家伯納德·波爾查諾與卡爾·魏爾施特拉斯，其陳述如下：

定理. $\mathbb{R}^n$ 中的一個子集 $E$ 是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）的充要條件是： $E$ 是有界閉集。

历史 [编辑]

这个定理最早由伯纳德·波尔扎诺证明，但是他的证明已经散失。卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔扎诺-魏尔施特拉斯定理是实分析中的基本定理。

证明 [编辑]

由于序列紧致的集合必然是有界闭集，定理的关键是在证明 $\mathbb{R}^n$ 的有界闭集必然序列紧致。

引理：有界的实数列必然包含单调的子列。

引理的证明：我们来构造这个子列设有实数列 $(a_n)_{n \ge 0} \in \mathbb{R}$ ，定义集合

$X = \left\{ a_k \ | \ \forall n \ge k , \ a_k \ge a_n \right\}$

集合中的每个元素，都比其后的所有元素都大。

如果X中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是 $(a_n)_{n \ge 0}$ 的子列，并且单调递减，构造完毕。

如果X中元素个数有限，那么如果设N为其中最大的下标，对任意 $n \ge N$ 的 $a_n$ ，它之后至少会有一个元素大于它。于是取 $k_0 = N+1$ ， $\scriptstyle k_1 > k_0$ 为第一个大于 $a_{k_0}$ 的元素的下标， $\scriptstyle k_2 > k_1$ 为第一个大于 $a_{k_1}$ 的元素的下标，依此类推，就可以得到 $(a_n)_{n \ge 0}$ 的一个子列，它是单调递增的，构造完毕。

综上可得，有界的实数列必然包含单调的子列。

定理的证明：

先考虑 $n=1$ 的情况。对于一个有界闭集中的实数列，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，这个子列必然收敛。又因为集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，于是我们找到了收敛的子列，因此集合是序列紧致的。

对于 $n \ge 2$ ，证明的思路是取多次子列。

设 $(a_k)_{k \ge 0} = (a_{1k} , a_{2k} , \cdots , a_{nk})_{k \ge 0} \in \mathbb{R}^n$ 为一个有界序列，则n个实数列 $(a_{ik})_{k \ge 0} , 1 \le i \le n$ 都是有界数列。于是存在 $(a_k)_{k \ge 0}$ 的子列 $(a_{\phi_1 ( k)})_{k \ge 0}$ 使得 $(a_{1 \phi_1 (k)})_{k \ge 0}$ 收敛。但是 $(a_{\phi_1 ( k)})_{k \ge 0}$ 仍是有界数列，因而存在子列 $(a_{\phi_2 (\phi_1 ( k))})_{k \ge 0}$ 使得 $(a_{2 \phi_2 (\phi_1 (k))})_{k \ge 0}$ 也收敛（注意这里 $(a_{1 \phi_2 (\phi_1 (k))})_{k \ge 0}$ 必然是收敛的）。在进行类似的n次操作后，我们就可以得到一个子列，使得 $\forall 1 \le i \le n, \ (a_{i \phi_n ( \cdots \phi_2 (\phi_1 (k)) \cdots )})_{k \ge 0}$ 都收敛，也就是说存在子列 $\ (a_{\phi_n ( \cdots \phi_2 (\phi_1 (k)) \cdots )})_{k \ge 0}$ 收敛。由于集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，因此集合是序列紧致的，证毕。