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波矢

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,{x}^{\mu}\,\!{x}_{\mu}\,\!。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,(x)^2\,\!表示x\,\!平方;而{x}^2\,\!{x}^{\mu}\,\!的第二個分量。

波矢矢量表示方法。波矢是一个矢量,其大小表示波数k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda),其方向表示波传播的方向。

波矢在狭义相对论背景下可定义为四维矢量

定义[编辑]

正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到,这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点英语Zero crossing
当波行进时,给定点的值以正弦作正弦振动。

波矢有两种常见的定义,区别在於振幅因子是否乘以2\pi,两种定义分别用於物理学晶体学以及它们的相关领域。[1]

物理学定义[编辑]

理想的一维行波遵循如下方程:

\psi(x,t) = A \cos (k x - \omega t+\varphi)

其中:

  • x为位置;
  • t为时间;
  • \psixt的函数)是对波进行描述的扰动(例如对於海浪\psi是超出水面的高度;对於声波\psi是超气压);
  • A是波的振幅(振动的峰值);
  • \varphi是相位偏移,描述了两个波互相之间不同步的程度;
  • \omega是波的角频率,描述了在一个给定点波振动的快慢程度;
  • k波数,与波长成反比,由k=2\pi/\lambda求出。

此波在+x方向上行进,相速度\omega/k

推广到三维情况下,方程为:

\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \omega t + \varphi \right)

其中:

  • r是三维空间中的位置矢量;
  • \cdot矢量点积
  • k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下,波矢的大小是角波数|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda。波矢的方向是平面波行进的方向。

晶体学定义[编辑]

晶体学中,描述相同的波的方程略有不同。[2]在一维和三维情况下的方程分别为:

\psi(x,t) = A \cos (2 \pi (k x - \nu t)+\varphi)
\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left(2\pi({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \nu t) + \varphi \right)

不同点在於:

  • 晶体学定义使用了频率\nu,而不是角频率\omega,由公式2\pi \nu=\omega,二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
  • 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的k=|{\mathbf k}| = 1/\lambda,而在物理学定义中,k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda

狭义相对论[编辑]

接近单色光的波包可以由波矢

k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{k} \right) \,

准确描述,若明确的改写成共變和反變形式,则

k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, k^1, k^2, k^3 \right)\,
k_\mu = \left(\frac{\omega}{c}, -k_1, -k_2, -k_3 \right)  \,

於是波矢的大小为

k^2 = k^\mu k_\mu = k^0 k_0 - k^1 k_1 - k^2 k_2 - k^3 k_3 \,
=\frac{\omega^2}{c^2} - \vec{k}^2 = 0 \,

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足

k = \frac{\omega}{c} \,

洛伦兹变换[编辑]

对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为

\Lambda = \begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0 \\
-\beta \gamma&\gamma&0&0 \\
0&0&1&0 \\
0&0&0&1
\end{bmatrix}

在光被快速移动的波源激发的情况下,若要在地球坐标系(实验室坐标系)中检定光的频率,就要使用洛伦兹变换,如下所示。注意波源位於坐标系S s,地球位於观测系S obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到

k^{\mu}_s = \Lambda^\mu_\nu k^\nu_{\mathrm{obs}} \,

只考虑\mu = 0分量的情况,得到

k^{0}_s = \Lambda^0_0 k^0_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_1 k^1_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_2 k^2_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_3 k^3_{\mathrm{obs}} \,
\frac{\omega_s}{c} \, = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma k^1_{\mathrm{obs}} \,
\quad = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} \cos \theta \,

其中 \cos \theta \,k^1关於k^0的方向余弦k^1 = k^0 \cos \theta

因此

\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 - \beta \cos \theta)} \,

波源远离观测者[编辑]

当波源径直地远离观测者时,\theta=\pi,方程变为:

\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 + \beta)} = \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}} \,

波源接近观测者[编辑]

当波源径直地接近观测者时,\theta=0,方程变为:

\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}} \,

参考文献[编辑]

  • Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.