波矢

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，${x}^{\mu}\,\!$ 或 ${x}_{\mu}\,\!$ 。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，$(x)^2\,\!$ 表示 $x\,\!$ 平方；而 ${x}^2\,\!$ 是${x}^{\mu}\,\!$ 的第二個分量。

波矢是波的矢量表示方法。波矢是一个矢量，其大小表示波数（$k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda$），其方向表示波传播的方向。

波矢在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。

定义

正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点。

当波行进时，给定点的值以正弦作正弦振动。

波矢有两种常见的定义，区别在於振幅因子是否乘以$2\pi$，两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。

物理学定义

理想的一维行波遵循如下方程：

$\psi(x,t) = A \cos (k x - \omega t+\varphi)$

其中：

• x为位置；
• t为时间；
• $\psi$（x和t的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於海浪，$\psi$是超出水面的高度；对於声波，$\psi$是超气压）；
• A是波的振幅（振动的峰值）；
• $\varphi$是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
• $\omega$是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
• $k$是波数，与波长成反比，由$k=2\pi/\lambda$求出。

此波在+x方向上行进，相速度为$\omega/k$。

推广到三维情况下，方称为：

$\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \omega t + \varphi \right)$

其中：

• r是三维空间中的位置矢量；
• $\cdot$ 是矢量点积；
• k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数$|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda$。波矢的方向是平面波行进的方向。

晶体学定义

在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。在一维和三维情况下的方程分别为：

$\psi(x,t) = A \cos (2 \pi (k x - \nu t)+\varphi)$

$\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left(2\pi({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \nu t) + \varphi \right)$。

不同点在於：

• 晶体学定义使用了频率$\nu$，而不是角频率$\omega$，由公式$2\pi \nu=\omega$，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
• 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的$k=|{\mathbf k}| = 1/\lambda$，而在物理学定义中，$k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda$。

狭义相对论

接近单色光的波包可以由波矢

$k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{k} \right) \,$

准确描述，若明确的改写成共變和反變形式，则

$k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, k^1, k^2, k^3 \right)\,$且

$k_\mu = \left(\frac{\omega}{c}, -k_1, -k_2, -k_3 \right) \,$。

於是波矢的大小为

$k^2 = k^\mu k_\mu = k^0 k_0 - k^1 k_1 - k^2 k_2 - k^3 k_3 \,$

$=\frac{\omega^2}{c^2} - \vec{k}^2 = 0 \,$

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足

$k = \frac{\omega}{c} \,$

洛伦兹变换

对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为

$\Lambda = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta \gamma&0&0 \\ -\beta \gamma&\gamma&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$。

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系S ^s，地球位於观测系S ^obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到

$k^{\mu}_s = \Lambda^\mu_\nu k^\nu_{\mathrm{obs}} \,$。

只考虑$\mu = 0$分量的情况，得到

$k^{0}_s = \Lambda^0_0 k^0_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_1 k^1_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_2 k^2_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_3 k^3_{\mathrm{obs}} \,$。

$\frac{\omega_s}{c} \,$	$= \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma k^1_{\mathrm{obs}} \,$
	$\quad = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} \cos \theta \,$ 其中$\cos \theta \,$是$k^1$关於$k^0$的方向余弦$k^1 = k^0 \cos \theta$。

因此

$\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 - \beta \cos \theta)} \,$

波源远离观测者

当波源径直地远离观测者时，$\theta=\pi$，方程变为：

$\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 + \beta)} = \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}} \,$。

波源接近观测者

当波源径直地接近观测者时，$\theta=0$，方程变为：

$\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}} \,$。

参考文献

• Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.