博雷爾集

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数学中,一个博雷尔集是指在一个指定的拓扑空间中,可由其开集(或者等价地,可由其闭集)的可数次并运算交运算和(或)差运算得到的一个集合。博雷尔集是由埃米尔·博雷尔的名字命名的。

对于一个拓扑空间X,其所有博雷尔集的全体构成一个σ-代数,称为博雷尔代数或者博雷尔σ-代数。拓扑空间X上的博雷尔代数是X上包含其所有开集(或者等价地,所有闭集)的最小的σ-代数。

博雷尔集在测度论中有着重要的意义,因为任何空间上的开集(或者闭集)上定义的测度,必然可以将定义延拓到空间所有的博雷尔集上。定义在博雷尔集上的测度被称为博雷尔测度。博雷尔集和相关的博雷尔分层描述集合论中也起着基础性的作用。

在某些语境下,博雷尔集被定义为是由拓扑空间中的紧集而不是开集生成的。两个定义在很多良态的空间中是等价的,包括所有σ-紧的豪斯多夫空间,但是在具有病态性质的空间中两者可能不同。

博雷尔代数的生成[编辑]

当X是一个度量空间时,博雷尔代数可以用如下生成的方法描述。

对于X的一族子集T(即X的幂集P(X)的任何子集),令

  • Tσ 为T中元素的可数并的全体
  • Tδ 为T中元素的可数交的全体
  • Tσδ=(Tδ)σ.

现在利用超限归纳法定义如下的序列Gm,其中m是一个序数

  • 对于初始的情况,定义

    G0 = X的所有开子集全体。

  • 如果i不是极限序数,那么i是i-1的后继序数。令

    Gi = [Gi-1]δσ

  • 如果i是极限序数,令

     G^i = \bigcup_{j < i} G^j.

我们现在可以说博雷尔代数是Gω1,其中ω1第一不可数序数,即 ℵ₁的序数集。这意味着博雷尔代数可以通过开集全体的迭代运算

 G \mapsto G_{\delta \sigma}.

至第一不可数序而生成。

为了证明这一点,首先注意到度量空间中的任何开集都是一列递增紧集的并。特别地,易知对于任何极限序数m,集合的差运算将Gm映射到自身;而且,当m是不可数的极限序数时,Gm在可数并运算下是封闭的。

注意到对于每一个博雷尔集B,存在一个可数序数αB使得B可以通过αB多次迭代后得到。但是随着B取遍所有博雷尔集,αB也会相应地取遍所有可数序数,故而要得到所有博雷尔集所需的最靠前的序数是ω1,即第一不可数序数。

例子[编辑]

一个重要的例子,尤其是对于概率论而言,是实数集上的博雷尔代数。它是用来定义博雷尔测度的代数。对于概率空间上一个给定的实随机变量,其概率分布按照定义,也是一个博雷尔代数上的测度。

实直线R上的博雷尔代数是包含所有区间的最小σ-代数。

在利用超限归纳法构造时,可以证明在每一步中,集合的数量至多是连续统的幂。所有博雷尔集的总数不会多于\aleph_1 \times 2 ^ {\aleph_0}\, = 2^{\aleph_0}\,

非博雷尔集[编辑]

下面描述了卢津给出的一个实数集上的子集不是博雷尔集的例子。与之形成对比的是,不可测集的例子是无法给出的,不过其存在性是可以证明的。

每一个无理数都有一个唯一的连分数表示

x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}

其中a_0\,是一个整数,其余的a_k\,都是正整数。令A为对应序列(a_0,a_1,\dots)\,的无理数组成的集合,而且其中的元素满足下列性质:存在一个无限子序列(a_{k_0},a_{k_1},\dots)\,使得序列中每一个元素都是下一个元素的因子。这个集合A不是博雷尔集。事实上,这个集合是一个解析集,进一步地,在解析集全体构成的类中是完备的。更详细的内容见描述集合论和Alexander S. Kechris的著作,特别是209页的练习(27.2)、169页的定义(22.9)和14页的练习(3.4)(ii)。

参考文献[编辑]

  • William Arveson, An Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, 1981
  • Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989
  • Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988
  • Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)