波莱尔-坎泰利引理

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波莱尔-坎泰利引理概率论中的一个基本结论。大致上,波莱尔-坎泰利引理说明了,如果有无穷概率事件,它们发生的概率之和是有限的,那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用,得名于数学家埃米尔·波莱尔弗朗西斯科·保罗·坎泰利

概率空间中的定理[编辑]

En 为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔-坎泰利引理说明: 如果所有的事件En 发生的概率\mathbb{P}的总和是有限的,

\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n)<\infty,

那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零:

\mathbb{P} \left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = 0\,

其中的 \limsup \,是指一个事件序列的上极限。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合,所以 \limsup E_n \,就是指序列En 里面有无限多个事件一起发生。准确来说,

\limsup_{n\to\infty} E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k.

证明[编辑]

设 (En) 是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的:

\sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(E_n)<\infty.

这等价于说,正项无穷级数\left( \mathbb{P}(E_n) \right)_{n \ge 1}收敛。所以,根据无穷级数的性质,级数的余项\sum_{n=N}^\infty \mathbb{P}(E_n) 的下极限是0:

 \inf_{N\geq 1} \sum_{n=N}^\infty \mathbb{P}(E_n) = 0. \,

因此,


 \mathbb{P}\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) =  \mathbb{P} \left(\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right)
\leq \inf_{N \geq 1}  \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right) \leq \inf_{N\geq 1} \sum_{n=N}^\infty  \mathbb{P} (E_n) = 0
[1]

推广[编辑]

对于更一般的概率空间,波莱尔-坎泰利引理可以叙述如下:

设 μ 是一个集合X 上的测度,装备了σ-代数F。设 (An) 为F 中的一个序列。如果:
\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty
那么,
\mu\left(\limsup_{n\to\infty} A_n\right) = 0\,

参考来源[编辑]

  • Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons. 1961 .
  • Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press. 1993 .
  • Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob.. 1980, 17: 1094–1101 .
  • Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.