# 泰勒公式

## 泰勒公式

$\textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.$

$R_n(x) = \textrm{e}^x - \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).$

## 泰勒定理

$f(a + h) = f(a) + f^{\prime}(a)h + o(h)$，其中$o(h)$ 是比h 高阶的无穷小

n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a区间上的函数 fa 点处 n+1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有：

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x).$[2]

$R_n(x)$ 的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + o[(x - a)^{n}]$

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{ f^{(n+1)}(\theta) }{(n + 1)!}(x - a)^{(n+1)}$

$R_n(x) = \frac{ f^{(n+1)}(\theta) }{(n + 1)!}(x - a)^{(n+1)}$，其中$\theta \in (a, x)$[4]

$R_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt,$

## 餘项估计

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x),$

## 多元泰勒公式

$f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha$

$x=(x_1,x_2,...,x_n)$ ,则记
$x^{\alpha }=x_1^{\alpha _1}x_2^{\alpha _2}...x_n^{\alpha _n}$.
$\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}=\frac{\partial ^{\alpha _1+\alpha _2+...+\alpha _n}f(\alpha )}{\partial x_1^{\alpha _1}x_2^{\alpha _2}...x_n^{\alpha _n}}$.

$f(\alpha +h)=\sum_{k=0}^{m}\sum_{|\alpha |=k}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}h^{\alpha }+R_m$

$f(\alpha +h)=f(\alpha )+\frac{\partial f}{\partial x_1}(\alpha )h_1+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}(\alpha )h_n+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}\frac{\partial ^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(\alpha )+...$.

$f(\alpha +h)=f(\alpha )+Jf(\alpha )h+\frac{1}{2}(h_1,...h_n)Hf(\alpha ) \begin{pmatrix} h_1\\ ...\\ h_n\\ \end{pmatrix}+...$

## 参考来源

1. ^ J J O'Connor and E F Robertson. Brook Taylor's Biography.
2. ^ Rudin, 第123至124页.
3. ^ 《微积分(Ⅱ)》第88-90页.
4. ^ Klein (1998) 20.3; Apostol (1967) 7.7
5. ^ Protter, Morrey, 第135-136页
• Apostol, Tom. 《微积分学》（Calculus）. Jon Wiley & Sons, Inc. 1967. ISBN 0-471-00005-1.
• Klein, Morris. 《微积分学：直观物理方法》(Calculus: An Intuitive and Physical Approach). Dover. 1998. ISBN 0-486-40453-6.
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.
• 清华大学数学科学系微积分编写组. 《微积分(Ⅱ)》. 清华大学出版社. 2000. ISBN 7-302-06917-4.
• Murray H. Protter,Charles Bradfield Morrey. 《中等微积分》(Intermediate calculus). Springer. 1986. ISBN 978-0-387-96058-6.