泰勒斯定理

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泰勒斯定理:如果 AC 是直径,那么 ∠ABC 是直角。

泰勒斯定理古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名,其内容为:若 A, B, C圆周上的三,且 AC 是该圆的直徑,那么 ∠ABC 必然為直角。或者说,直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得几何原本》第三卷中被提到并证明。

泰勒斯定理的逆定理同样成立,即:直角三角形中,直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

證明[编辑]

证法一[编辑]

以下證明主要使用兩個定理:

泰勒斯定理的动态演示图。 
证明图。 

O圓心,因為 OA = OB = OC,所以 △OAB 和 △OBC 都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等,故有 ∠OBC = ∠OCB,且 ∠BAO = ∠ABO。設 α = ∠BAOβ = ∠OBC。在 △ABC 中,因为三角形的内角和等于 180°,所以有

\alpha+\left( \alpha + \beta \right) + \beta = 180^\circ
{2}\alpha + {2}\beta =180^\circ
{2}( \alpha + \beta ) =180^\circ
\therefore \angle ABC = \alpha + \beta =90^\circ.

证法二[编辑]

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明,证明如下:

O = (0, 0), A = (-1, 0), C = (1, 0)。此时,B 就是单位圆 (\cos \theta, \sin \theta) 上的一点。我们将通过证明 ABBC 垂直,即它们的斜率之积等于 –1,来证明这个定理。计算 ABBC 的斜率:

m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1}
m_{BC} = \frac{y_B - y_C}{x_B - x_C} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}

并证明它们的积等于 –1:

\begin{align}
&m_{AB} \cdot m_{BC}\\
=&\frac{\sin \theta}{\cos \theta + 1} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1}\\
=&\frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta -1}\\
=&\frac{\sin ^2 \theta}{-\sin ^2 \theta}\\
=&-1
\end{align}

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式 \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1

逆定理的證明[编辑]

此證明使用兩線的向量形成直角三角形若且唯若內積為零。設有直角三角形 ABC,和以 AC 為直徑的圓 O。設 O 在原點,以方便計算。则 ABBC 的內積為:

(A-B)\times(B-C)=(A-B)\times(B+A)=|A|^2-|B|^2=0
|A|=|B|

AB 與圓心等距,即 B 在圆上。

一般化以及有关定理[编辑]

泰勒斯定理是「同弧所对的圓周角圓心角的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理:

如果 AC 是一个圆的直径,则:
  • B 在圆内,则 ∠ABC > 90°
  • B 在圆上,则 ∠ABC = 90°
  • B 在圆外,则 ∠ABC < 90°

歷史[编辑]

泰勒斯並非此定理的首名發現者,古埃及人和巴比倫人一定已知這特性,可是他們沒有給出證明。