泰勒斯定理

泰勒斯定理說明若$A$,$B$,$C$是圓形上的三點，且$AC$是直徑，$\angle ABC$必然為直角。

證明

以下證明主要使用了兩個事實：

• 三角形內角和等於兩個直角
• 等腰三角形的兩個底角相等

設$O$為圓心，因為$OA=OB=OC$，$\triangle OAB$和$\triangle OBC$都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等，故有$\angle OBC = \angle OCB$及 $\angle BAO = \angle ABO$。設$\gamma = \angle BAO$和$\delta = \angle OBC$。

三角形內角和等於兩個直角：

$\triangle AOB$：$2\gamma + \gamma' = 90^\circ \times 2$

$\triangle BOC$：$2\delta + \delta' = 90^\circ \times 2$

同一直線上的鄰角和亦等於兩個直角：

$\gamma' + \delta' = 90^\circ \times 2$

將之前的兩條式之和減去第三條式：

$2\gamma + \gamma' + 2\delta + \delta' - (\gamma' + \delta') = 90^\circ \times (2+2-2)$

$2\gamma + 2\delta= 90^\circ \times 2$

$\gamma + \delta= 90^\circ$

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逆定理的證明

此證明使用兩線的向量形成直角三角形若且唯若其內積為零。設有直角三角形$ABC$，和以$AC$為直徑的圓$O$。設圓$O$的圓心在原點以方便計算。因此$AB$和$BC$的內積為：

$(A-B)\times(B-C)=(A-B)\times(B+A)=|A|^2-|B|^2=0$

$|A|=|B|$

故$A$和$B$與圓心等距。

一般化

泰勒斯定理是「圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。

歷史

泰勒斯並非此定理的首名發現者，古埃及人和巴比倫人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。