洛朗级数

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复变函数f(z)的洛朗级数,是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。

函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出:

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n

其中an是常数,由以下的路径积分定义,它是柯西积分公式的推广:

a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,

积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线,把c包围起来,位于圆环A内,在这个圆环内f(z)是全纯函数f(z)的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。

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