洛朗级数

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在数学中,复变函数f(z)的洛朗级数,是幂级数的一种,它不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人,但他1841年的论文在他死后才发表于世。[1]

函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出:

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n

其中an是常数,由以下的路径积分定义,它是柯西积分公式的推广:

a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,

积分路径γ是位于圆环A内的一条逆时针方向的可求长曲线,把c包围起来,在这个圆环内f(z)全纯的(解析的)。f(z)的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。在右边的图中,该环用红色显示,其内有一合适的积分路径\gamma 。如果我们让\gamma是一个圆|z-c| = \varrho ,其中r < \varrho < R ,这就相当于要计算的限制到\gammaf的复傅里叶系数。这些积分不随轮廓\gamma的变形而改变是斯托克斯定理的直接结果。

在实践中,上述的积分公式可能不是计算给定的函数f(z)系数a_n最实用的方法;相反,人们常常通过拼凑已知的泰勒展开式来求出洛朗级数。因为函数的洛朗展开式只要存在就是唯一的 ,实际上在圆环中任何与f(z)相等的,以上述形式表示的给定函数的表达式一定就是f(z)的洛朗展开式。

收敛洛朗系列[编辑]

复系数洛朗级数是複分析中的一个重要工具,尤其在研究函数奇点附近的行为时。

e−1/x2和洛朗近似:见文中解释。随着洛朗级数负次数的增长,图像接近正确的函数。
e−1/x2和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。

考虑例如函数f(x) = e^{-1/x^2},它的f(0) = 0 。作为实变函数,它是处处无穷可微的;但作为一个复变函数,在x = 0处不可微。用−1/x2替换指数函数幂级数展开式中的x,我们得到其洛朗级数,对于除了奇点X = 0以外的所有复数,它都收敛并等于ƒ(x)。旁边的图显示了e−1/x2(黑色)和它的洛朗近似

\sum_{n=0}^N(-1)^n\,{x^{-2n}\over n!}

对于N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 750。当N → ∞,近似对除了奇点x = 0处的所有复数x都很精确。

更一般地,洛朗级数可以用来表达定义在圆环上的全纯函数,就像幂级数被用于表达一个圆盘上定义全纯函数一样。

參看[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Rodriguez, Rubi; Kra, Irwin; Gilman, Jane P., Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 12, 2012, ISBN 9781441973238 

外部链接[编辑]