派克变换

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派克变换(也译作帕克变换英语:Park's Transformation),是目前分析同步电动机运行最常用的一种坐标变换,由美国工程师派克(R.H.Park)在1929年提出。派克变换将定子的a,b,c三相电流投影到随着转子旋转的直轴(d轴),交轴(q轴)与垂直于dq平面的零轴(0轴)上去,从而实现了对定子电感矩阵的对角化,对同步电动机的运行分析起到了简化作用。

定义[编辑]

派克正变换:

{\mathbf{i}}_{dq0}  = {\mathbf{P}}{\mathbf{i}}_{abc}  = \frac{2}
{3}\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\cos \theta } & {\cos \left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)} & {\cos \left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)}  \\
   { - \sin \theta } & { - \sin \left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)} & { - \sin \left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)}  \\
   {\frac{1}
{2}} & {\frac{1}
{2}} & {\frac{1}
{2}}  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {i_a }  \\
   {i_b }  \\
   {i_c }  \\

 \end{array} } \right]

逆变换:

{\mathbf{i}}_{abc}  = {\mathbf{P}}^{ - 1} {\mathbf{i}}_{dq0}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\cos \theta } & { - \sin \theta } & 1  \\
   {\cos \left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)} & { - \sin \left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)} & 1  \\
   {\cos \left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)} & { - \sin \left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)} & 1  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {i_d }  \\
   {i_q }  \\
   {i_0 }  \\

 \end{array} } \right]


派克变换也作用在定子电压与定子绕组磁链上: 
{\mathbf{u}}_{dq0}  = {\mathbf{P}}{\mathbf{u}}_{abc} 

{\mathbf{\Psi }}_{dq0}  = {\mathbf{P}}{\mathbf{\Psi }}_{abc}



几何解释[编辑]

上图描绘了派克变换的几何意义,定子三相电流互成120度角,\delta 为定子电流落后于它们对应的相电压的角度。直轴与交轴电流分别等于定子三相电流在d轴与q轴上的投影。(图中的比例系数\sqrt {\frac{3}{2}} 是由于图中所采用的是正交形式的派克变换)d-q坐标系在空间中以角速度\omega逆时针旋转,故 \theta = \omega t 以d轴领先a相轴线的方向为正。当定子电流为三相对称的正弦交流电时,i_d,i_q为直流电流,i_0=0

用派克变换化简同步发电机基本方程[编辑]

变换后的磁链方程[编辑]

磁链方程:



\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\Psi }}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{L}}_{SS} } & {{\mathbf{L}}_{SR} }  \\
   {{\mathbf{L}}_{RS} } & {{\mathbf{L}}_{RR} }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]


上式中的电感系数矩阵 {{\mathbf{L}}_{SS}},{{\mathbf{L}}_{SR}},{{\mathbf{L}}_{RS}},{{\mathbf{L}}_{RR}} 事实上都含有随时间变化的角度参数[1],使得方程求解困难。

现对等式两边同时左乘 
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mathbf{P}} & {}  \\
   {} & {\mathbf{U}}  \\

 \end{array} } \right],其中
{\mathbf{U}}为三阶单位矩阵。方程化为:


\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\Psi }}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mathbf{P}} & {}  \\
   {} & {\mathbf{U}}  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{L}}_{SS} } & {{\mathbf{L}}_{SR} }  \\
   {{\mathbf{L}}_{RS} } & {{\mathbf{L}}_{RR} }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{P}}^{ - 1} } & {}  \\
   {} & {\mathbf{U}}  \\



 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]



\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\Psi }}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{PL}}_{SS} {\mathbf{P}}^{ - 1} } & {{\mathbf{PL}}_{SR} }  \\
   {{\mathbf{L}}_{RS} {\mathbf{P}}^{ - 1} } & {{\mathbf{L}}_{RR} }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]


其中 
{\mathbf{PL}}_{SS} {\mathbf{P}}^{ - 1}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {L_d } & {} & {}  \\
   {} & {L_q } & {}  \\
   {} & {} & {L_0 }  \\

 \end{array} } \right] \triangleq {\mathbf{L}}_{dq0}


① 变换后的电感系数都变为常数,可以假想dd绕组,qq绕组是固定在转子上的,相对转子静止。

② 派克变换阵对定子自感矩阵 {\mathbf{L}}_{SS} 起到了对角化的作用,并消去了其中的角度变量。{L_d },{L_q},{L_0} 为其特征根。

③ 变换后定子和转子间的互感系数不对称,这是由于派克变换的矩阵不是正交矩阵

{L_d } 为直轴同步电感系数,其值相当于当励磁绕组开路,定子合成磁势产生单纯直轴磁场时,任意一相定子绕组的自感系数。

变换后的电压方程[编辑]

电压方程:


\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{U}}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{U}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{r}}_S } & {}  \\
   {} & {{\mathbf{r}}_R }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]

现对等式两边同时左乘 
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mathbf{P}} & {}  \\
   {} & {\mathbf{U}}  \\

 \end{array} } \right],其中
{\mathbf{U}}为三阶单位矩阵。方程化为:


\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{U}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{U}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{r}}_S } & {}  \\
   {} & {{\mathbf{r}}_R }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc} }  \\
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right]


{\mathbf{\Psi }}_{dq0}  = {\mathbf{P\Psi }}_{abc}

对两边求导,得 
{\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0}  = {\mathbf{\dot P\Psi }}_{abc}  + {\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc}

所以 
{\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc}  = {\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0}  - {\mathbf{\dot P\Psi }}_{abc}  = {\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0}  - {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} {\mathbf{\Psi }}_{dq0}

其中 {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {} & \omega  & {}  \\
   { - \omega } & {} & {}  \\
   {} & {} & {}  \\

 \end{array} } \right]
,令 {\mathbf{S}} = {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} {\mathbf{\Psi }}_{dq0}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {} & \omega  & {}  \\
   { - \omega } & {} & {}  \\
   {} & {} & {}  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\Phi _d }  \\
   {\Phi _q }  \\
   {\Phi _0 }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\omega \Psi _q }  \\
   { - \omega \Psi _d }  \\
   {}  \\

 \end{array} } \right]


于是有 
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{U}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{U}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{r}}_S } & {}  \\
   {} & {{\mathbf{r}}_R }  \\

 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   { - {\mathbf{i}}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{i}}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} }  \\
   {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} }  \\

 \end{array} } \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\mathbf{S}}  \\
   {}  \\

 \end{array} } \right]

上式右边第一项为绕组电阻的压降,第二项为变压器电势,第三项为发电机电势或旋转电势。

注释[编辑]

  1. ^ 定子电感矩阵 
{\mathbf{L}}_{SS}  = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {L_{aa} } & {M_{ab} } & {M_{ac} }  \\
   {M_{ba} } & {L_{bb} } & {M_{bc} }  \\
   {M_{ca} } & {M_{cb} } & {L_{cc} }  \\

 \end{array} } \right]
    其中
    L_{aa}  = l_0  + l_2 \cos \left( 2\theta \right)
    L_{bb}  = l_0  + l_2 \cos 2\left( {\theta  - 120^ \circ  } \right)
    L_{cc}  = l_0  + l_2 \cos 2\left( {\theta  + 120^ \circ  } \right)
    M_{ab}  = M_{ba}  =  - m_0  - m_2 \cos 2\left( {\theta  + 30^ \circ  } \right)
    M_{bc}  = M_{cb}  =  - m_0  - m_2 \cos 2\left( {\theta  - 90^ \circ  } \right)
    M_{ca}  = M_{ac}  =  - m_0  - m_2 \cos 2\left( {\theta  + 150^ \circ  } \right)

参考书目[编辑]

  • 电机电子类科《电力系统暂态分析》,ISBN 978-7-5083-4825-4,作者:李光琦,中国电力出版社。