测度收敛

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测度收敛测度论中的一个概念: 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ,我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 μn,随着n的增大,μn的性质与μ越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 序列的极限的想法一致: 对于任何可接受的误差 ε > 0 ,只要 N 充分大, 对于任何nN , μn 和 μ 之间的'差别'小于 ε。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些定义可能互相不等价,强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

测度的总变差收敛[编辑]

测度的强收敛[编辑]

测度的弱收敛[编辑]

数学统计学种, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。 下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.[1]

定义。 S 为拥有 Borel σ-代数 Σ的 度量空间 。我们称一列(S, Σ)上的 概率测度 Pn , n = 1, 2, ..., 弱收敛于概率测度 P, (记为

P_n\Rightarrow P

如果下面任何一条条件得到满足 ( En 为关于概率 Pn 的数学期望,E 为关于概率 P的数学期望):

  • Enf → Ef 对于任何有界连续的函数 f;
  • Enf → Ef 对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数 f;
  • limsup Enf ≤ Ef 对于任何有上界的 上半连续 的函数 f ;
  • liminf Enf ≥ Ef 对于任何有下界的 下半连续 的函数f ;
  • limsup Pn(C) ≤ P(C)对于任何空间S中的闭集 C ;
  • liminf Pn(U) ≥ P(U) 对于任何空间S中的开集 U;
  • lim Pn(A) = P(A) 对于任何关于概率P连续的集合A .

参考文献[编辑]

  1. ^ Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 978-1-848000-047-6 doi:10.1007/978-1-848000-048-3
  • Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. 2005. ISBN 3-7643-2428-7. 
  • Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2. 
  • Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.