海森伯群

在數學裡，海森伯群是以维尔纳·海森伯來命名的，為如下之三階上三角矩陣所組成的群：

$\begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}.$

元素a、b、c可以取成某種交換環，一般會取成實數環或整數環。

例子

1. 若a、b、c為實數，則可得到一個連續海森伯群 H₃(R)。其為一個幂零李群。
2. 若a、b、c為整數，則可得到一個離散海森伯群 H₃(Z)。其為一個非阿貝爾冪零群，有兩個生成元

$x=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

和其中

$z=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

為 H₃ 中心之生成元的

$z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy$

等關係。依貝斯定理所述，其會有一個4目的多項式增長率。

1. 若取a、b、c在Z/pZ內，則可得到一個模 p 海森伯群。其為p³目的群，其中有兩個生成元 x和y以及

$z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^p=y^p=z^p=1,\ xz=zx,\ yz=zy$.

等關係。

一般海森伯群

更一般性地，海森伯群可以由任何一個辛向量空間來建造。例如，令(V,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V上之非退化反對稱雙線性形)。在(V,ω)(或簡稱V)上的海森伯群H(V)是一個附有群定律

$(v_1,t_1)\cdot(v_2,t_2) =\left (v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega(v_1,v_2)\right).$

的集合。

海森伯群是加法群V的中心擴張。因此，會有一個正合序列

$0\to\mathbb{R}\to H(V)\to V\to 0.$

每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω(e_j,f^k) = δ_j^k的達布基{e_j,f^k}_{1 ≤ j,k ≤ n}。以此一基來敘述，每個向量都可以分解成

$v=q^a\mathbf{e}_a+p_a\mathbf{f}^a.$

其中的q^a和p_a為正則坐標。

若{e_j,f^k}_{1 ≤ j,k ≤ n}是V的一個達布基，然後令{E為R的一個基，則{e_j,f^k, E}_{1 ≤ j,k ≤ n}會是V×R的一個對應的基。一個在H(V)內的向量

$v=q^a\mathbf{e}_a+p_a\mathbf{f}^a+tE$

可以等同於下列矩陣

$\begin{bmatrix} 1 & p& t+\frac{1}{2}pq\\ 0 & 1 & q\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

因此便給出了一個H(V)的真實矩陣表示。

參考

• Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.