海森伯群

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數學裡,海森伯群是以维尔纳·海森伯來命名的,為如下之三階上三角矩陣所組成的

\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.

元素abc可以取成某種交換環,一般會取成實數環或整數環。

例子[编辑]

  1. abc實數,則可得到一個連續海森伯群 H3(R)。其為一個幂零李群
  2. abc為整數,則可得到一個離散海森伯群 H3(Z)。其為一個非阿貝爾冪零群,有兩個生成元
x=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

和其中

z=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 1\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

為 H3 中心之生成元的

 z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\  xz=zx,\  yz=zy

等關係。依貝斯定理所述,其會有一個4目的多項式增長率

  1. 若取abcZ/pZ內,則可得到一個p 海森伯群。其為p3目的,其中有兩個生成元 xy以及
 z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\   x^p=y^p=z^p=1,\  xz=zx,\  yz=zy .

等關係。

一般海森伯群[编辑]

更一般性地,海森伯群可以由任何一個辛向量空間來建造。例如,令(V,ω)為一個有限維實辛向量空間(故ω為於V上之非退化反對稱雙線性形)。在(V,ω)(或簡稱V)上的海森伯群H(V)是一個附有群定律

(v_1,t_1)\cdot(v_2,t_2) =\left (v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega(v_1,v_2)\right).

的集合。

海森伯群是加法群V中心擴張。因此,會有一個正合序列

0\to\mathbb{R}\to H(V)\to V\to 0.

每一個辛向量空間都會允許有一個滿足ω(ej,fk) = δjk達布基{ej,fk}1 ≤ j,kn。以此一基來敘述,每個向量都可以分解成

v=q^a\mathbf{e}_a+p_a\mathbf{f}^a.

其中的qapa正則坐標

若{ej,fk}1 ≤ j,knV的一個達布基,然後令{ER的一個基,則{ej,fk, E}1 ≤ j,kn會是V×R的一個對應的基。一個在H(V)內的向量

v=q^a\mathbf{e}_a+p_a\mathbf{f}^a+tE

可以等同於下列矩陣


\begin{bmatrix}
1 & p& t+\frac{1}{2}pq\\
0 & 1 & q\\
0 & 0& 1
\end{bmatrix}

因此便給出了一個H(V)的真實矩陣表示

和外爾代數的關連[编辑]

量子力學的外爾觀點[编辑]

視為一子黎曼流形[编辑]

另見[编辑]

參考[编辑]

  • Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.