海森堡模型

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海森堡模型英语Heisenberg model)是一個自旋系統的統計力學的模型,常被用來研究磁性系統和強關聯電子系統中的相變臨界點的現象。在量子力學發展初期,海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在交互作用,其數學形式是兩個自旋角動量的內積\vec S_i \cdot \vec S_j。海森堡模型的哈密頓算符是這些內積的總和。

H=\sum_{ij}J_{ij}\vec S_i \cdot \vec S_j

其中自旋角動量的xyz三個分量之間的互易關係為 [S_i^\alpha , S_j^\beta ]=i\hbar \delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} S_j^\gamma\hbar普朗克常數除以 2\pi,為了方便以下討論假設 \hbar =1。如果只考慮最近鄰的自旋才存在交互作用,且交互作用的強度J_{ij}都均等,則哈密頓算符簡化為


H=J\sum_{\langle i,j\rangle } \vec S_i \cdot \vec S_j=J\sum_{\langle i,j\rangle } \left( S_i^x S_j^x +S_i^y S_j^y+S_i^z S_j^z \right)

可定義上昇算符 S^+和下降算符 S^-

S^\pm =S^x \pm iS^y

哈密頓算符可寫成


H=J\sum_{\langle i,j\rangle } \left[ \frac{1}{2}\left( S_i^+ S_j^- + S_i^- S_j^+ \right) + S_i^z S_j^z \right]

相較於易辛模型,海森堡模型除了考慮自旋 z軸方向上的耦合以外,還考慮了 xy軸方向上的耦合,由於 [S_i^\alpha , S_j^\beta ]=i\delta_{ij}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} S_j^\gamma,這使研究海森堡模型必須考慮量子力學。

一維海森堡模型[编辑]

考慮 N自旋排成一列,耦合強度 J\equiv 1,一維海森堡模型的哈密頓算符就寫成


H=\sum_{j=1}^N \vec S_j \cdot \vec S_{j+1}=\sum_{j=1}^N \left[ \frac{1}{2}\left( S_j^+ S_{j+1}^- + S_j^+ S_{j+1}^- \right) + S_j^z S_{j+1}^z \right]

如果是自旋-1/2的一維海森堡模型,在熱力學極限下(N \rightarrow \infty),基態能量可利用貝特擬設英语Bethe ansatz方法求得 e_0=-\ln 2 + \frac{1}{4}

Haldane猜想[编辑]

自旋半奇整數(\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{5}{2}、…)和整數(123、…)的一維海森堡模型有不同的性質。

奇數(symmetry protected topological)和偶數(trivial)。

二維海森堡模型[编辑]

Kagome晶格中的自旋液體


各向異性[编辑]

在磁性材料中,磁矩(或自旋)之間的交互作用除了用各向同性的(isotropic)海森堡模型描述以外,還可能出現一些各向異性(anisotropy)。當材料中有較強的自旋-軌道耦合時,常造成自旋 xyz軸上的耦合強度不同,此時哈密頓算符改寫為


H=J_x \sum_{\langle i,j\rangle} S_i^x S_j^x +J_y \sum_{\langle i,j\rangle} S_i^y S_j^y +J_z \sum_{\langle i,j\rangle} S_i^z S_j^z

被廣泛研究的海森堡模型類型的模型是XXZ模型,也就是 J_x = J_y \neq J_z 的情形,一維自旋-1/2XXZ模型可利用貝特擬設英语Bethe ansatz嚴格求解。


當磁矩(或自旋)大於1/2,還可能出現另一種形式的各向異性,由晶格場造成的單軸各向異性,其數學形式為 D\sum_j \left( S_j^z \right) ^2。因此在磁性材料中常被用來討論的理論模型寫成XXZ模型加上單軸各向異性,


H=\sum_{\langle i,j\rangle} \left( S_i^x S_j^x +S_i^y S_j^y +\Delta S_i^z S_j^z \right) + D\sum_j \left( S_j^z \right) ^2

其中參數 \DeltaD 分別代表XXZ各向異性和單軸各向異性,當 \Delta =1D=0,模型回歸到各向同性的海森堡模型

相關條目[编辑]