海森堡模型

海森堡模型(Heisenberg model)是一個究磁性系統中的相變與臨界點的統計力學的模型，將易辛模型中的原子自旋以量子物理來處理。其中一維自旋-1/2的海森堡模型可利用Bethe ansatz嚴格求解。

一維海森堡模型

在原始的易辛模型的一個 $d$維度的晶格中，每一個晶格點上有一個自旋為$\sigma_i \in \{ \pm 1\}$表示的微觀磁矩。由於鐵磁性物質中兩個相鄰的磁矩在反向可得到最低的能量，系統的哈密頓算符為

$\hat H = -J \sum_{j =1}^{N} \sigma_j \sigma_{j+1} - h \sum_{j =1}^{N} \sigma_j \quad\text{(Ising*modell)}$

在一個無限大的系統中，邊界條件對於系統並無影響，在一個無限大的一維晶格中，取週期邊界條件 $\sigma_{N+1} = \sigma_1$ 。

在海森堡模型中，使用量子力學來處理自旋，把原本易辛模型中自旋用自旋算符來表示，即考慮了自旋的 $x$、$y$ 和 $z$ 三個份量，各個份量的偶合強度分別為 $J_x$、$J_y$ 和 $J_z$。這麼一來，一維海森堡模型的哈密頓算符就寫成

$\hat H = -\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{N} (J_x \sigma_j^x \sigma_{j+1}^x + J_y \sigma_j^y \sigma_{j+1}^y + J_z \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z - h\sigma_j^{z})\quad\text{(Heisenberg *modell)}$

其中

$\sigma^x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma^y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma^z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

被廣泛研究海森堡模型類型的模型是XXZ海森堡模型，也就是 $J = J_x = J_y \neq J_z = \Delta$ 的情形。 一維自旋-1/2的海森堡模型可利用Bethe ansatz嚴格求解。

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