海森堡繪景

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维尔纳·海森堡

海森堡繪景(Heisenberg picture)是量子力學的一種表述。海森堡繪景專注研究對應於可觀察量算符隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響這些算符。這與薛丁格繪景狄拉克繪景明顯不同。薛丁格繪景專注研究量子系統的量子態隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響量子態。狄拉克繪景則研究量子態與對應於可觀察量的算符隨著時間而演化的行為、時間演化算符怎樣影響量子態與這些算符。雖然有這樣的差異,這三種繪景的測量統計結果完全相同。這是必然的。因為,它們都是在表達同樣的物理現象。[1]:80-84[2][3]

海森堡繪景是矩陣力學表述於一個任意基底,其哈密頓量不一定是對角矩陣

數學表述[编辑]

在量子力學裏,海森堡繪景表述的量子態 |\psi \rang 不含時,可觀察量 A 滿足海森堡方程式

\frac{d}{dt}A={i \over \hbar}[H,\,A]+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical}

其中,\hbar約化普朗克常數H哈密頓量[H,\,A]HA對易算符。在有些方面,海森堡繪景比薛丁格繪景更為自然,更具有基礎性。特別是在表述相對論的時候,海森堡繪景明顯地表露出勞侖茲不變性

更加地,海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到:只要將對易算符改為帕松括號,海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式。

史東-馮諾伊曼理論 (Stone-von Neumann theorem) 證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

導引[编辑]

假設在時間 t ,量子態為 |\psi(t)\rang ,可觀察量 A (一個厄米算符)的期望值

 \lang A \rang _{t} = \lang \psi (t) | A | \psi(t) \rang

在薛丁格繪景裏,

 | \psi (t) \rang = e^{ - iHt / \hbar} | \psi (0) \rang

A 的期望值為

 \lang A \rang _{t} = \lang \psi (0) | e^{iHt / \hbar} A e^{ - iHt / \hbar} | \psi(0) \rang

定義含時算符 A(t)

 A(t)\ \stackrel{def}{=}\  e^{iHt / \hbar} A e^{ - iHt / \hbar}

A(t) 對於時間的導數是

\begin{align} {d \over dt} A(t)  & = {i \over \hbar} H e^{iHt / \hbar} A e^{ - iHt / \hbar} + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical} + {i \over \hbar}e^{iHt / \hbar} A \cdot ( - H) e^{ - iHt / \hbar} \\ 
 & = {i \over \hbar } e^{iHt / \hbar} \left( H A - A H  \right) e^{-iHt / \hbar}  + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical} \\
 & = {i \over \hbar } \left( H A(t) - A(t) H \right)   + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical} \\
\end{align}

所以,

  {d \over dt} A(t) = {i \over \hbar } [ H  , A(t) ]  + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical}

應用算符恆等式

 {e^B A e^{-B}} = A + [B,A] + \frac{1}{2!} [B,[B,A]] + \frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\cdots

對於不含時算符 A ,可以得到

 A(t)=A+\frac{it}{\hbar}[H,A] - \frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[H,[H,A]] 
- \frac{it^3}{3!\hbar^3}[H,[H,[H,A]]] + \cdots

由於帕松括號與對易算符的關係,在哈密頓力學裏,這方程式也成立。

對易關係[编辑]

很明顯地,由於算符是否含時,對易關係在海森堡繪景裏跟在薛丁格繪景裏有很大的差異。例如,設想算符 x(t_{1}),\, x(t_{2}),\,  p(t_{1})p(t_{2}) ,這些算符隨時間的演化與系統的哈密頓量有關。一維諧振子的哈密頓量是

H=\frac{p^{2}(t)}{2m}+\frac{m\omega^{2}x^{2}(t)}{2}

位置算符動量算符的演化分別為

{d \over dt} x(t)={i \over \hbar } [H,x(t)]=\frac {p(t)}{m}
{d \over dt} p(t)={i \over \hbar } [H,p(t)]= - m \omega^{2} x(t)

再求這兩個方程式對於時間的導數,

{d^2 \over dt^2} x(t) = {i \over m\hbar } [H,p(t)]= - \omega^{2} x(t)
{d^2 \over dt^2} p(t) = { - im \omega^{2} \over \hbar } [H,x(t)]= - \omega^{2} p(t)

設定初始條件

\dot{p}(0)= - m\omega^{2} x_0
\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}

二次微分方程式的解答分別是:

x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{p_{0}}{ m\omega}\sin(\omega t)
p(t)=p_{0}\cos(\omega t) - m\omega\!x_{0}\sin(\omega t)

稍加運算,可以得到海森堡繪景裏的對易關係:

[x(t_{1}), x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2} - \omega t_{1})
[p(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2} - \omega t_{1})
[x(t_{1}), p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2} - \omega t_{1})

請注意,假若 t_{1}=t_{2} ,則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

參考文獻[编辑]

  • Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X. 
  1. ^ Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics. 2nd, Addison-Wesley. 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994786, 1261: . ISBN 0-07-051400-3. 
  3. ^ Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 201070: . ISBN 9-780071-623582. 

參閱[编辑]