海森堡繪景

海森堡繪景是量子力學的一種表述。這表述的算符（可觀察量和其它算符）相依於時間，而量子態則不相依於時間。海森堡繪景與薛丁格繪景有很明顯的差異。薛丁格繪景表述的算符是常數，而量子態則隨著時間演化。雖然有這些差異，兩種繪景只是不同於依賴時間的基底的改變。兩種繪景的測量統計結果完全相同。這是必然的。因為，它們都是在表達同樣的物理現象。

海森堡繪景是矩陣力學在一個任意基底的表述。其哈密頓量不一定是對角的。

數學細節 [编辑]

在量子力學裏，海森堡繪景表述的量子態 $|\psi \rang \,\!$ 不相依於時間，可觀察量 $A\,\!$ 滿足海森堡方程式：

$\frac{d}{dt}A={i \over \hbar}[H,\,A]+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical}\,\!$ ；

其中， $\hbar\,\!$ 是約化普朗克常數， $H\,\!$ 是哈密頓量， $[H,\,A]\,\!$ 是 $H\,\!$ 與 $A\,\!$ 的對易算符。在有些方面，我們感覺海森堡繪景會比薛丁格繪景更自然，更具有基礎性。特別是在表述相對論的時候，海森堡繪景顯然的表露出勞侖茲不變性。

更加地，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式。

史東-馮諾伊曼理論 (Stone-von Neumann theorem) 證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

導引海森堡方程式 [编辑]

設定可觀察量 $A\,\!$ （一個厄米算符）。處於時間 $t\,\!$ 的量子態 $|\psi(t)\rang \,\!$ ，其可觀察量 $A\,\!$ 的期望值是

$\lang A \rang _{t} = \lang \psi (t) | A | \psi(t) \rang \,\!$ 。

根據薛丁格繪景，

$| \psi (t) \rang = e^{ - iHt / \hbar} | \psi (0) \rang \,\!$ 。

那麼，

$\lang A \rang _{t} = \lang \psi (0) | e^{iHt / \hbar} A e^{ - iHt / \hbar} | \psi(0) \rang\,\!$ 。

定義相依於時間的算符 $A(t)\,\!$ ，

$A(t) := e^{iHt / \hbar} A e^{ - iHt / \hbar}\,\!$ 。

$A(t)\,\!$ 隨時間的導數是

$\begin{align} {d \over dt} A(t) & = {i \over \hbar} H e^{iHt / \hbar} A e^{ - iHt / \hbar} + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical} + {i \over \hbar}e^{iHt / \hbar} A \cdot ( - H) e^{ - iHt / \hbar} \\ & = {i \over \hbar } e^{iHt / \hbar} \left( H A - A H \right) e^{-iHt / \hbar} + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical} \\ & = {i \over \hbar } \left( H A(t) - A(t) H \right) + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical} \\ \end{align}\,\!$ 。

所以，

${d \over dt} A(t) = {i \over \hbar } [ H , A(t) ] + \left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)_\mathrm{classical}\,\!$ 。