海涅－博雷尔定理

在数学分析中，海涅－博雷尔定理（Heine–Borel theorem）或有限覆盖定理、博雷尔－勒贝格定理（Borel–Lebesgue theorem），以Eduard Heine 和埃米尔·博雷尔命名，斷言：

对于欧几里得空间 Rⁿ 的子集 S，下列两个陈述是等价的:

• S 是闭合并且有界的
• 所有 S 的开覆盖有有限子覆盖，就是说 S 是紧致的。

在实分析的上下文中，前者性质有时用做紧致性的定义性质。但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了，在这种一般情况下只有后者还用于定义紧致性。事实上，对任意度量空间的 Heine–Borel 定理为:

度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的。

历史和动机

今天叫做海涅-博雷尔定理的历史开始于十九世纪对实分析的坚实基础的寻觅。理论的中心是一致连续的概念和声称所有闭区间上的连续函数是一致连续的定理。狄利克雷首先证明了它，并隐含的在他的证明中利用了闭区间的给定开覆盖的有限子覆盖的存在性。他在1862年的演讲中使用了这个证明，并在1904年得以出版。后来 Eduard Heine、卡尔·魏尔斯特拉斯和 Salvatore Pincherle 使用了类似的技术。埃米尔·博雷尔在1895年首次发表并证明了一种形式的现在的海涅-博雷尔定理。他的公式化受限制于可数覆盖。昂利·勒贝格(1898年)和 Schoenflies(1900年) 把它推广到了任意覆盖。

定理的讨论

如果一个集合是紧致的，则它必定是闭合的。

设一个集合是紧致的。与一个会聚点的至少一个邻域不相交的那些集合的有限集合不能是开覆盖，因为这些不交接的邻域的交集形成了一个开集，它把不包含在那个集合的有限集合内的一个点包含在这个集合内。考虑这个集合的所有元素的那些邻域减去包含这个会聚点的集合，使得每个邻域都不交集于这个会聚点的至少一个邻域。这个邻域的集合的所有子集因此有早先讨论的形式，因此不能是开子覆盖。因此最初的不与这个会聚点的邻域相交的这种邻域的集合也不形成开覆盖，即使它不包含这个会聚点但包含在这个集合内的所有其他元素。因此，这个会聚点必定在这个集合中。

如果一个集合是紧致的，则它是有界的。

为什么? 考虑以一个公共点为中心有任何半径的那些开球。这可以覆盖任何集合，因为在这个集合中所有点都用与那个点有某种距离。这个覆盖的任何有限覆盖必定是有界的，因为它会被界定在这个子覆盖的最大开球内。因此，这个子覆盖的所覆盖的任何集合都必定是有界。

推广

真正推广到任意度量空间为:

度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的和完全有界的。这种推广也适用于拓扑向量空间，更一般适用于一致空间。

下面是证明的 "⇒" 部分的梗概，依据于讓·迪厄多內，在一般度量空间的上下文中:

1. 明显的任何紧致集合 E 都是完全有界的。
2. 设 (x_n) 是在 E 中任意柯西序列；并设 F_n 是在 E 中集合 { x_k : k ≥ n } 的闭包并且 U_n := E − F_n。如果所有 F_n 的交集为空，则 (U_n) 将是 E 的开覆盖，因此将有 E 的有限子覆盖 (U_nk)，因此 F_nk 将为空，这蕴涵了 F_n 对于所有大于任何 n_k 的 n 为空，这是个矛盾。所以所有 F_n 的交集非空，而在这个交集中的任何点都是序列 (x_n) 的会聚点。
3. 柯西序列的任何会聚点都是极限点 (x_n)；所以任何 E 中柯西序列收敛在 E 中，换句话说，E 是完备的。

证明的 "<=" 部分的梗概如下:

1. 如果 E 不是紧致的，则将存在 E 的覆盖 (U_l)_l 有着 E 的无限子覆盖。利用 E 的完全有界性来递归的定义在 E 中的球序列 (B_n) 带有
   • B_n 的半径是 2⁻ⁿ；
   • 没有 B_n 的有限子覆盖 (U_l∩B_n)_l；
   • B_n+1 ∩ B_n 非空。
2. 设 x_n 是 B_n 的中心点并设 y_n 是 B_n+1 ∩ B_n 中的任何点；因此我们有 d(x_n+1, x_n) ≤ d(x_n+1, y_n) + d(y_n, x_n) ≤ 2⁻ⁿ⁻¹ + 2⁻ⁿ ≤ 2⁻ⁿ⁺¹。可得出对于 n ≤ p < q: d(x_p, x_q) ≤ d(x_p, x_p+1) + ... + d(x_q−1, x_q) ≤ 2^−p+1 + ... + 2^−q+2 ≤ 2⁻ⁿ⁺²。因此，(x_n) 是 E 中的柯西序列，收敛于 E 中的某个极限点 a，因为 E 是完备的。
3. 设 $I_0$ 是索引使得 $\mbox{ }_{U_{I_0}}$ 包含 a；因为 (x_n) 收敛于 a 而 $\mbox{ }_{U_{I_0}}$ 是开集，有一个大 n 使得球 B_n 是 $\mbox{ }_{U_{I_0}}$ 的子集 - 这矛盾于 B_n 的构造。

"=>" 部分的证明可轻易的推广到任意一致空间，但是 "<=" 部分的证明更加复杂并等价于超滤子原理 ，一种形式的选择公理。 (在一般度量空间中，"<=" 方向要求依赖选择公理)。

參考文獻

• P. Dugac. Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet–Heine–Weierstrass–Borel–Schoenflies–Lebesgue. Arch. Internat. Hist. Sci. 1989, 39: 69–110. 
• proof of Heine-Borel theorem on PlanetMath

外部連結

• Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman.. The Heine–Borel Theorem (avi • mp4 • mov • swf • streamed video). Hannover: Leibniz Universität. 2004.