深度 (模論)

在交換代數中， 深度是交換環與模的一種不變量，它可以由正則序列定義，或以同調代數中的Ext函子刻劃。

正則序列

設 $R$ 為交換環，$M$ 為 $R$-模。若元素 $x \in R$ 滿足 $\forall m \in M, \; xm=0 \Rightarrow m=0$（即：$x$ 非 $M$ 的零因子），則稱之為 $M$-正則元。

一組 M-正則序列是一個 $R$ 中的有限序列 $(x_1, \ldots, x_d)$，使得對每個 $1 \leq i \leq d$ 有

$x_i$ 為 $M/(x_0, \ldots, x_{i-1})$-正則元（置 $x_0 := 0$）

定理（Rees）：若 $(R,\mathfrak{m})$ 是局部諾特環，元素皆屬於 $\mathfrak{m}$ 的正則序列之置換仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。

深度

假設同上，並固定一個理想 $I \subset R$。定義$R$-模 $M$ 的I-深度為元素皆屬於 $I$ 的 $M$-正則序列的最大長度，記作 $\mathrm{depth}_I(M)$（在法文文獻中常記作 $\mathrm{prof}_I(M)$）。環 $R$ 的 $I$-深度定義為 $\mathrm{depth}_I(R)$。

$\mathrm{depth}_I(M)$ 亦可用Ext函子刻劃為使得 $\mathrm{Ext}^n(R/I,M) \neq 0$ 的最小非負整數 $n$。

下列等式將深度問題化約到局部環的情形：

$\mathrm{depth}_I(M) = \sup_{\mathfrak{p} \supset I} (M_\mathfrak{p})$

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 $A$ 為局部諾特環，$M$ 為有限生成 $A$-模，而且其射影維度有限，則

$\mathrm{pd}_A(M) + \mathrm{depth}_A(M) = \mathrm{depth}(A)$

文獻

• V.I. Danilov, Depth of a module//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1