深度 (模論)

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交換代數中, 深度交換環的一種不變量,它可以由正則序列定義,或以同調代數中的Ext函子刻劃。

正則序列[编辑]

R交換環MR-模。若元素 x \in R 滿足 \forall m \in M, \; xm=0 \Rightarrow m=0(即:xM 的零因子),則稱之為 M-正則元

一組 M-正則序列是一個 R 中的有限序列 (x_1, \ldots, x_d),使得對每個 1 \leq i \leq d

x_iM/(x_0, \ldots, x_{i-1})-正則元(置 x_0 := 0

定理(Rees):若 (R,\mathfrak{m})局部諾特環,元素皆屬於 \mathfrak{m} 的正則序列之置換仍是正則序列,而且這類序列中的極大者都具相同長度。

深度[编辑]

假設同上,並固定一個理想 I \subset R。定義R-模 MI-深度為元素皆屬於 IM-正則序列的最大長度,記作 \mathrm{depth}_I(M)(在法文文獻中常記作 \mathrm{prof}_I(M))。環 RI-深度定義為 \mathrm{depth}_I(R)

\mathrm{depth}_I(M) 亦可用Ext函子刻劃為使得 \mathrm{Ext}^n(R/I,M) \neq 0 的最小非負整數 n

下列等式將深度問題化約到局部環的情形:

\mathrm{depth}_I(M) = \sup_{\mathfrak{p} \supset I} (M_\mathfrak{p})

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 (Auslander-Buchsbaum):設 A 為局部諾特環M 為有限生成 A-模,而且其射影維度有限,則

\mathrm{pd}_A(M) + \mathrm{depth}_A(M) = \mathrm{depth}(A)

文獻[编辑]

  • V.I. Danilov, Depth of a module// (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社, 2001, ISBN 978-1556080104 
  • David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
  • Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1