渐近分析

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学分析中,渐近分析是一种描述函数在极限附近的行为的方法。有多个科学领域应用此方法。例子如下:

最简单的例子如下:考虑一个函数f(n),我们需要了解当n变得非常大的时候f(n)的性质。

f(n) = n^{2}+3n,在n特别大的时候,第二项3n比起第一项n^2要小很多。

于是对于这个函数,有如下断言:「f(n)n\rightarrow \infty的情况下与n^2渐进等价」,记作f(n)\sim n^2

渐进等价[编辑]

定义:给定关于自然数n的复函数fg

命题f(n)\sim g(n) \mbox{  } (n\rightarrow \infty)表明(使用小o符号

f(n) = g(n) + o(g(n)) \mbox{  } (n\rightarrow \infty)

或(等价记法)

f(n) = (1+o(1))g(n) \mbox{  } (n\rightarrow \infty)

这说明,对所有正常数\epsilon,存在常量N,使得对于所有的n \geqslant N

|f(n) - g(n)| \leqslant \epsilon |g(n)|

g(n)不是0或者趋于无穷大时,该命题可等价记作

\lim_{n{\rightarrow}\infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1

渐进等价是一个关于n的函数的集合上的等价关系。非正式地,函数f的等价类包含所有在极限情况下近似等于f的函数g

渐近展开[编辑]

函数f(x)的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛,但每一个部分和都表示f(x)的一个渐近表示式。例子:斯特灵公式

相關條目[编辑]

參考注釋[编辑]

外部連結[编辑]

  • J. P. Boyd, "The Devil's Invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series", Acta Applicandae Mathematicae, 56: 1-98 (1999). Preprint.