渐近线

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曲线上一点M沿曲线无限远离原点时,如果M到一条直线距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 數學上的定義則是:若函數y=f \left(x \right)的圖形收斂,則漸近線為y=\lim_{x \to \infty} f \left(x \right)

例解[编辑]

例如,直线y=\frac{b}{a}x双曲线\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1的渐近线,因为双曲线上的点M到直线y=\frac{b}{a}x的距离MQ<MN;当MN无限趋近于0时,MQ也无限趋近于0。所以按照定义,直线y=\frac{b}{a}x是该双曲线的渐近线。同理,直线y=-\frac{b}{a}x也是该双曲线的渐近线。

对于F\left(x,y \right)=0来说,如果当x \rightarrow a时,有y \rightarrow \infty,就把x=a叫做F \left(x,y \right)=0的垂直渐近线;如果当x \rightarrow \infty时,有y \rightarrow b,就把y=b叫做F \left(x,y \right)=0的水平渐近线。例如,y=3是曲线xy=3x+2的水平渐近线。

求法[编辑]

依据[编辑]

求渐近线,可以依据以下结论:

极限\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=a存在,且极限\lim_{x \to + \infty} \left[f \left (x \right) -ax \right]=b也存在,那么曲线y=f \left(x \right)具有渐近线y=ax+b

例子[编辑]

例:求y=\frac{x^2}{1+x}的渐近线。

解:(1)x=-1为其垂直渐近线。

(2)\lim_{x \to \infty} \frac{f \left(x \right)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x},即a=1

\lim_{x \to \infty} \left[f \left(x \right) -ax \right]=\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x}=-1,即b=-1

所以y=x-1也是其渐近线。