湯普森群

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數學上,湯普森群英语Thompson groups)是理查德·湯普森1965年在幾份未發表的手寫筆記中,提出的三個,通常記為FTV。這三個群中受到最廣泛研究的是群F。有時湯普森群單單指群F

這三個湯普森群有許多不尋常性質,當中尤以F為甚,因此成為了群論中不少猜想的反例。這三個群都是有限展示的無限群。TV是罕有的無限但為有限展示的單群F不是單群,但其換位子群[F,F]是單群。F對換位子群的F/[F,F]是秩2的自由阿貝爾群F全序群,有指數增長率,無子群同構於秩2自由群

F是否可均群的問題,爭議頗大,有兩方各執一端:E. Shavgulidze和Justin Moore各自發表預印論文,聲稱F是可均群;另外Azer Akhmedov和Leva Beklaryan也各自發表預印論文,聲稱F不是可均群。但是這些預印論文的證明隨後都發現有錯誤。至今難以猜測F是否可均群。[1]

現時已知F不是初等可均群,假如F不是可均群,則會成為有限展示群的馮紐曼猜想的另一個反例。這個猜想指有限展示的非可均群都有子群同構於秩2自由群,自提出後多年未解,直至2003年才被推翻。

Higman (1974)提出了一個以有限展示單群組成的無限族,湯普森群V是這個族中一個特例。

展示[编辑]

F的一個有限展示如下:

\langle A,B \mid\ [AB^{-1},A^{-1}BA] = [AB^{-1},A^{-2}BA^{2}] = \mathrm{id} \rangle

其中[x,y]是換位子xyx−1y−1.

雖然F可表達為有兩個生成元及兩個關係元的有限展示,但用以下的無限展示較容易理解:

\langle x_0, x_1, x_2, \dots\ \mid\ x_k^{-1} x_n x_k = x_{n+1}\ \forall \ k<n \rangle.

以上兩個展示間的關係為 x0=A, xn = A1−nBAn−1n>0。

其他表示[编辑]

湯普森群F是由在二元樹上如圖中形式的操作所生成。圖中LT是節點,但A, B, R可以用一般的樹代替。

F可以用有序有根的二元樹上的運作表示。群F也可以表達為單位區間上由所有如下所述的分段線性同胚組成的群:同胚保持區間的定向,不可微點都是二進有理數(即形為m/2n的數,其中m, n為整數),每段的斜率都是2的冪。

將單位區間的端點等同,便可以視群F為在單位圓上作用,而群T是在F中加入單位圓的同胚xx+1/2 mod 1而生成的群。在二元樹上的對應操作是把根節點下方的兩棵樹交換。群V是在群T中加入一個不連續映射而生成的群,這映射固定半開區間[0,1/2)的點,並用最顯然的方法交換區間[1/2,3/4)和[3/4,1)。在二元樹上的對應操作為把根節點的右子節點下的兩棵樹(如有的話)交換。

參考[编辑]

  1. ^ Is Thompson's Group F amenable?. Mathoverflow. [2013-11-02].