準素分解

在交換代數中，準素分解將一個交換環的理想（或模的子模）唯一地表成準素理想（或準素子模）之交。這是算術基本定理的推廣，能用以處理代數幾何中的情況。

陳述

設 $R$ 為交換諾特環，$M$ 為有限生成之 $R$-模。對任一子模 $N \subset M$，存在有限多個準素子模 $M_i$ 使得

$N = \bigcap_i M_i$

事實上，可以要求此分解是最小的（即：無法省去任何 $M_i$），且諸準素子模 $M_i$ 對應到的素理想彼此相異。滿足上述條件的準素分解是唯一確定的。

最常見的情形是取 $M=R$，並取 $N=I$ 為一理想。任取一準素分解 $I = \bigcap_i Q_i$，這些 $Q_i$ 中的極小者稱為 $I$ 的孤立素理想，否則稱為鑲嵌素理想；孤立素理想是 $I \subset R$ 的一組不變量。

幾何意義

在幾何上，$I$ 的孤立素理想對應到仿射概形 $\mathrm{Spec}(R)$ 的閉子集 $V(I)$ 之不可約成份。

歷史

伊曼紐·拉斯克在1905年證明了$R$ 為多項式環的情形。埃米·諾特在1921年證明上述的推廣版本。職是之故，準素分解的存在性也被稱為拉斯克-諾特定理。

文獻

• M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra , Addison-Wesley (1969)
• O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra, Volume 1 and 2, Springer (1975)
• N. Bourbaki, Elements of mathematics. Commutative algebra , Addison-Wesley (1972)
• V. T. Markov, Primary Decomposition//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104