準素分解

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交換代數中,準素分解將一個交換環理想(或的子模)唯一地表成準素理想(或準素子模)之交。這是算術基本定理的推廣,能用以處理代數幾何中的情況。

陳述[编辑]

R 為交換諾特環M 為有限生成之 R-模。對任一子模 N \subset M,存在有限多個準素子模 M_i 使得

N = \bigcap_i M_i

事實上,可以要求此分解是最小的(即:無法省去任何 M_i),且諸準素子模 M_i 對應到的素理想彼此相異。滿足上述條件的準素分解是唯一確定的。

最常見的情形是取 M=R,並取 N=I 為一理想。任取一準素分解 I = \bigcap_i Q_i,這些 Q_i 中的極小者稱為 I孤立素理想,否則稱為鑲嵌素理想;孤立素理想是 I \subset R 的一組不變量。

幾何意義[编辑]

在幾何上,I 的孤立素理想對應到仿射概形 \mathrm{Spec}(R) 的閉子集 V(I) 之不可約成份。

歷史[编辑]

伊曼紐·拉斯克在1905年證明了R多項式環的情形。埃米·諾特在1921年證明上述的推廣版本。職是之故,準素分解的存在性也被稱為拉斯克-諾特定理

文獻[编辑]

  • M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra , Addison-Wesley (1969)
  • O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra, Volume 1 and 2, Springer (1975)
  • N. Bourbaki, Elements of mathematics. Commutative algebra , Addison-Wesley (1972)
  • V. T. Markov, Primary Decomposition//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104