满射

满射，或者满射函数，在数学上为一个具有这样一个性质的函数，即当输入域涵盖了所有定义域上的值时，函数的所有可能的输出值都已经被产生。

更加形式化地，一个函数$f:X\rightarrow Y$为满射，当，对于任意的陪域Y中的y，在函数的定义域X中存在至少一个x满足f(x) = y。换句话说，f是满射当它的值域f(X)与陪域Y相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素都有一个原像。

例子和反例

函数$g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$定义为g(x) = x²不是一个满射，因为，例如不存在一个实数满足x² = − 1。

但是，如果函数$g:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty]$，g的定义式同前，这里的陪域限制到只有非负实数，则函数g为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数y，我们能对y = x²求解，得到$x=\pm \sqrt{y}$。

雙射（單射與滿射）	單射但非滿射
滿射但非单射	非滿射非單射

性质

• 函数$f:X\rightarrow Y$为一个满射，当且仅当存在一个函数$g:Y\rightarrow X$满足$f\circ g$等于Y上的单位函数。（这个陈述等同于选择公理。）
• 根据定义， 函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。
• 如果$f\circ g$ 是满射，则f是满射。
• 如果f和g皆为满射，则$f\circ g$为满射。
• $f:X\rightarrow Y$为满射，当且仅当给定任意函数$g,h:Y\rightarrow Z$满足$g\circ f=h\circ f$，则g = h。
• 如果$f:X\rightarrow Y$为满射，且B是Y的子集，则，f(f ^{− 1}(B)) = B。因此，B能被其原像复原。
• 任意函数$h:X\rightarrow Y$能被一个适当的满射f和单射g分解为$h=g\circ f$。
• 如果$f:X\rightarrow Y$为满射函数，则X在基数意义上至少有跟Y一样多的元素。
• 如果X和Y皆为具有相同元素数的有限集合，则$f:X\rightarrow Y$是满射当且仅当f是单射。

相关条目

• 单射
• 双射