满射

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满射,或者满射函数,在数学上为一个具有这样一个性质的函数,即当输入域涵盖了所有定义域上的值时,函数的所有可能的输出值都已经被产生。

更加形式化地,一个函数f:X\rightarrow Y为满射,当,对于任意的陪域Y中的y,在函数的定义域X中存在至少一个x满足f(x)=y。换句话说,f是满射当它的值域f(X)与陪域Y相等,或者,等价地,如果每一个陪域中的元素都有一个原像


例子和反例[编辑]

函数g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}定义为g(x)=x^2不是一个满射,因为,例如不存在一个实数满足x^2=-1

但是,如果函数g:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty)g的定义式同前,这里的陪域限制到只有非负实数,则函数g为满射。这是因为,给定一个任意的非负实数y,我们能对y=x^2求解,得到x=\pm \sqrt{y}


Bijection.svg
雙射(單射與滿射)

Injection.svg
單射但非滿射

Surjection.svg
滿射但非单射

Total function.svg
非滿射非單射

性质[编辑]

  • 函数f:X\rightarrow Y为一个满射,当且仅当存在一个函数g:Y\rightarrow X满足f\circ g等于Y上的单位函数。(这个陈述等同于选择公理。)
  • 根据定义, 函数为双射当且仅当它既是满射也是单射
  • 如果f\circ g 是满射,则f是满射。
  • 如果fg皆为满射,则f\circ g为满射。
  • f:X\rightarrow Y为满射,当且仅当给定任意函数g,h:Y\rightarrow Z满足g\circ f=h\circ f,则g=h
  • 如果f:X\rightarrow Y为满射,且BY子集,则,f(f^{-1}(B))=B。因此,B能被其原像复原。
  • 任意函数h:X\rightarrow Y能被一个适当的满射f和单射g分解为h=g\circ f
  • 如果f:X\rightarrow Y为满射函数,则X基数意义上至少有跟Y一样多的元素。
  • 如果XY皆为具有相同元素数的有限集合,则f:X\rightarrow Y是满射当且仅当f单射

相关条目[编辑]