漸伸線

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漸伸線(involute)(或稱漸開線(evolent))和漸屈線(evolute)是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線,曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點PS出發沿曲線移動,選在P的切線上的Q,使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程r:\mathbb R\to\mathbb R^n,其中|r^\prime(s)|=1,曲線A的方程為t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程r:\mathbb R\to\mathbb R^n|r^\prime(s)|=1),則其漸屈線為

s \to r(s)+{r''(s)\over|r''(s)|^2}

每條曲線可有無窮多條漸伸線,但只有一條漸屈線。

漸屈線 漸伸線
懸鏈線 曳物線
圓內螺線外擺線 相似的圓內螺線/外擺線
擺線 相同的擺線
半立方拋物線 拋物線


參數化曲線[编辑]

漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:

X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Y[x,y]=y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

範例[编辑]

Involut cir.jpg
圓的漸伸線
(反向, by unwinding)
懸鏈線的漸開線是一個 曳物線


圓的漸伸線[编辑]

圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形.

\, x = a \left( \cos\ t + t\sin\ t \right)
\, y = a \left( \sin\ t - t\cos\ t \right)

其中\, a是圓的半徑,\, t為參數

  • 極坐標系中, \, r,\theta 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成:
\, r=a\sec\alpha
\, \theta = \tan\alpha - \alpha

其中 \, a 是圓的半徑 \, \alpha為參數

通常,一個圓的漸開線常被寫成寫成:

\, r = a \sqrt{1+t^2}
\, \theta = \arctan \frac{\cos t + t \sin t}{\sin t - t \cos t}.

歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用,稱為漸開線齒輪


懸鏈線的漸開線[编辑]

一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ,形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中,一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成:

x=t-\mathrm{tanh}(t)\,

y=\mathrm{sech}(t)\,

其中t 是參數,而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

r(s)=(\sinh^{-1}(s),\cosh(\sinh^{-1}(s)))\,

我們得到 r^\prime(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}\,

r(t)-tr^\prime(t)=(\sinh^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2}).

替代成 t=\sqrt{1-y^2}/y

可得到 ({\rm sech}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y).

擺線的漸開線[编辑]

一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中,一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成:

x=r(t-\sin(t))\,
y=r(1-\cos(t))\,

其中 t 是角度, r半徑

另外參見[编辑]


外部連結[编辑]