漸伸線

漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程$r:\mathbb R\to\mathbb R^n$，其中$|r^\prime(s)|=1$，曲線A的方程為$t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)$。

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程$r:\mathbb R\to\mathbb R^n$（$|r^\prime(s)|=1$），則其漸屈線為

$s \to r(s)+{r''(s)\over|r''(s)|^2}$。

每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

漸屈線	漸伸線
懸鏈線	曳物線
圓內螺線／外擺線	相似的圓內螺線／外擺線
擺線	相同的擺線
半立方拋物線	拋物線

參數化曲線

漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:

$X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

$Y[x,y]=y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

範例

圓的漸伸線 (反向, by unwinding)

懸鏈線的漸開線是一個 曳物線。

圓的漸伸線

圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形.

• 在笛卡兒坐標系中，一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

$\, x = a \left( \cos\ t + t\sin\ t \right)$

$\, y = a \left( \sin\ t - t\cos\ t \right)$

其中$\, a$是圓的半徑，$\, t$為參數

• 在 極坐標系中， $\, r,\theta$ 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

$\, r=a\sec\alpha$

$\, \theta = \tan\alpha - \alpha$

其中 $\, a$ 是圓的半徑 $\, \alpha$為參數

通常，一個圓的漸開線常被寫成寫成：

$\, r = a \sqrt{1+t^2}$

$\, \theta = \arctan \frac{\cos t + t \sin t}{\sin t - t \cos t}$.

歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用，稱為漸開線齒輪。

懸鏈線的漸開線

一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ，形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中，一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成：

$x=t-\mathrm{tanh}(t)\,$

$y=\mathrm{sech}(t)\,$

其中t 是參數，而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

用$r(s)=(\sinh^{-1}(s),\cosh(\sinh^{-1}(s)))\,$

我們得到 $r^\prime(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}\,$

且$r(t)-tr^\prime(t)=(\sinh^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2})$.

替代成 $t=\sqrt{1-y^2}/y$

可得到 $({\rm sech}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y)$.

擺線的漸開線

一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中，一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成：

$x=r(t-\sin(t))\,$

$y=r(1-\cos(t))\,$

其中 t 是角度， r 是 半徑

另外參見

• 漸屈線
• 渦旋壓縮機
• 漸開線齒輪

外部連結

• Xah: Special Plane Curves: Involute, Evolute
• Mathworld