無效證明

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數學裡,有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的,其錯誤-通常是經過設計的-卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已,但可以被使用顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射函數 f,以觀察對某些 xy ,會有 f(x)=f(y) ,來(錯誤地)做出 x=y 的結論。零除數是此類錯誤的一特例;f 為將 x 映射至 x×0 的函數,而其錯誤的一步是起於將x×0=y×0的等式做成 x=y 的結論。相似地,下面證明了 5=4 的句子也是以函數 f(x)=x2 的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個 xy 會使得 x2=y2 的一正確申論,然後做出了 x=y 的一錯誤結論。

算术例子[编辑]

證明1是最大的正整數[编辑]

  • 假設最大的正整數不是1,而是 a,有 a > 1。
  • a > 1 > 0,a 為正的,所以由 a > 1 得到 a * a > a。
  • 但是 a * a 還是正整數,可是沒有任何正整數比 a 大,矛盾。
  • 所以最大的正整數是 1

Q.E.D.

此一證明是無效的,因為最大的正整數不存在,因此不能如此假設。

證明1等於-1[编辑]

  • 由一等式開始
    -1 = -1 \,
  • 將兩邊轉成假分數
    \frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}
  • 將兩邊開方
    \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}
  • 其會等於
    \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}
  • 兩邊同乘\sqrt{-1}以來消去分數
    \sqrt{1}\sqrt{1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1}
  • 但任一數的開方之平方會給出原本的數來,故
    1 = -1 \,

Q.E.D.

此一證明是無效的,因為負數的開方不是实数,\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}推出\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}是错误的(事實上,\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = -i\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = i)。

po on deuation for  da

證明1等於2[编辑]

1. 令a = b \,,且a \ne 0

2.將兩邊乘以a

a^{2} = ab \,

3. 將兩邊減掉b^{2} \,

a^{2} - b^{2} = ab - b^{2} \,

4. 將兩邊因式分解

(a + b)(a - b) = b(a - b) \,

5. 將兩邊除以a - b \,

a + b = b \,

6. 因為a = b \,因此

b + b = b \,

7. 簡化

2b = b \,

8. 將兩邊除以b

2 = 1 \,

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步,由於a - b \,等於,而除以零是無效的。

證明4等於5[编辑]

  • 由一等式開始
    -20 = -20 \,
  • 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
    25 - 45 = 16 - 36 \,
  • 將兩邊做因式分解
    5^2 - 5 \times 9 = 4^2 - 4 \times 9
  • 將兩邊加上相同的數
    5^2 - 5 \times 9 + \frac{81}{4} = 4^2 - 4 \times 9 + \frac{81}{4}
  • 將兩邊再做一次因式分解
    \left(5 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(4 - \frac{9}{2}\right)^2
  • 將兩邊開方
    5 - \frac{9}{2} = 4 - \frac{9}{2}
  • 消去相同的項
    5 = 4 \,

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於 x^2 = y^2 不表示 x = y 的這一事實。到此之前的算術都是正確的,而事實上, -\left(5 - \frac{9}{2}\right) = 4 - \frac{9}{2}。需注意的是,若將 4 減去 \frac{9}{2},會得到 -\frac{1}{2}。若再平方的話,則會得到一個正的 \frac{1}{4}。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話,則將會看見 \frac{1}{2} 會等於 \frac{1}{2}。原始的 -20=-20 式子事實上是會導致一個正確的等式的(若此一問題是以此一純粹的方式運算的話)。

證明1+1=0[编辑]

  • 1+1

\begin{align}
1+1&=1+\sqrt{1} \\
&=1+\sqrt{(-1)(-1)} \\
&=1+\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \\
&=1+i \times i \\
&=1+(-1) \\
&=0\\
\end{align}

Q.E.D.

此證明的錯誤在於\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}只有在a與b不皆為負數才成立,\sqrt{(-1)(-1)}並不等於\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}

證明0=1[编辑]

首先,設定一個無窮級數。

0 = 0 + 0 + 0 + \cdots

因為0 = 1 - 1,因此:

0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots

拆括號之後在於不同的地方加上括號:

0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots

-1 + 1 = 0,因此:

0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots
0 = 1 \,

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於,無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下,將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的,因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於級數 s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots

證明0/0等於0[编辑]

首先,我們知道:

0 ^ 4 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0\,
0 ^ 2 = 0 \times 0 = 0\,

由於a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}

因此\frac{0 ^ 4}{0 ^ 2} = 0^{4 - 2} = 0 ^ 2 = 0

因此\frac{0}{0} = 0

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於,a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}成立的前提有a \ne 0

證明任意兩數都是相等的[编辑]

u = a \ , \ v = b - c\,
a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,

和立方差立方公式可知:

(u + \sqrt {v})^3 = u^3 + 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v + v \sqrt{v}
(u - \sqrt {v})^3 = u^3 - 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v - v \sqrt{v}

由於u = a \ , \ v = b - c\,

(a + \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) + (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}
(a - \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) - (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}

a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,代入3 a^2 + b - c\,,可得:

3 a^2 + b - c = 3 (x^2 - 2 x y + y^2) + x^2 + 2 x y + y^2 - 4 (x^2 - x y + y^2) = 0\,

因此:


\begin{align}
(a + \sqrt{b - c})^3 &= (a - \sqrt {b - c})^3 \\
a + \sqrt{b - c} &= a - \sqrt {b - c} \\
\sqrt {b - c} &= 0 \\
b - c &= 0 \\
b &= c \\
\end{align}

代入b = (x + y)^2 \ , \  c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,,可得:


\begin{align}
(x + y)^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\
x^2 + 2 x y + y^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\
-3 x^2 + 6 x y - 3 y^2 &= 0 \\
(x - y)^2 &= 0 \\
x - y &= 0 \\
x &= y \\
\end{align}

Q.E.D.

这个证明的错误在于:

1、在以上的假设下,可得v=b-c=(x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)=-3(x-y)^2=-3a^2=-3u^2,所以uv并不是独立的;

2、在复数域中,由x^3=y^3得不出x=y。在此证明中,由(a+\sqrt{b-c})^3=(a-\sqrt{b-c})^3得出a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}是错误的。

几何例子[编辑]

第一题:证明任何三角形都是正三角形[编辑]

第一题错误的证图
第一题正确的证图
第二题错误的证图
第二题正确的证图

给定三角形△ABC,证明AB = AC:

  1. 作 ∠A 的角平分线
  2. 作 BC 的垂直平分线,并设 BC 的中点为 D。
  3. 设这两条直线的交点为 P。
  4. 从 P 向 AB 和 AC 作垂线,并设垂足为 E 和 F。
  5. 作直线 PB 和 PC。
  6. △EAP ≅ △FAP(AP = AP;∠PAF ≅ ∠PAE 由于 AP 平分 ∠A;∠AEP ≅ ∠AFP 都是直角)。
  7. △PDB ≅ △PDC(∠PDB、∠PDC 是直角;PD = PD;BD = CD 由于 PD 平分 BC)。
  8. △EPB ≅ △FPC(EP = FP 由于 △EAP ≅ △FAP;BP = CP 由于 △PDB ≅ △PDC;∠EPB ≅ ∠FPC 由于它们是对顶角)。
  9. 因此,AE ≅ AF,EB ≅ FC,AB = AE + EB = AF + FC = AC。
  10. 同理,AB = BC,AC = BC。

证毕。

这个证明的错误在于,只有在△ABC為等腰三角形,P 才會位于三角形的内部,而且AP与DP会重合。

第二题:证明直角等于钝角[编辑]

给定一个矩形ABCD,证明∠DCB=∠ECB;

  1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
  2. 联结AE。
  3. 作BC、AE的中垂线,它们的垂足分别是G、F,两条直线交于H。
  4. 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的,所以HA=HE,HB=HC。
  5. 矩形的对边相等,得AB=DC;加上作图要求,得AB=EC。
  6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
  7. 由于HB=HC,则得∠HBC=∠HCB。
  8. 等量减等量,得∠ABC=∠ECB。
  9. 矩形的四个角都是90°,得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

这个证明的错误在于,由于△ABH≅△ECH,则∠BHA=∠CHE,即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE,可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转,因AH穿过了矩形ABCD,则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子[编辑]

证明0等于1[编辑]

我们从计算以下的不定积分开始:

\int \frac{1}{x} dx

利用分部积分法,可得:

u=\frac{1}{x}dv=dx

因此:

du=-\frac{1}{x^2}dxv=x

所以,有:

\int \frac{1}{x} dx=\frac{x}{x} - \int \left ( - \frac{1}{x^2} \right ) x dx
\int \frac{1}{x} dx=1 + \int \frac{1}{x} dx
0 = 1 \,

证毕。

这个证明的错误在于,忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算,會得到1 + \int \frac{1}{x} dx=1 + \ln\ |x|+C=\ln\ |x|+C

參見[编辑]