無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤－通常是經過設計的－卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被使用顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數 f，以觀察對某些 x 和 y ，會有 f(x)=f(y) ，來（錯誤地）做出 x=y 的結論。零除數是此類錯誤的一特例；f 為將 x 映射至 x×0 的函數，而其錯誤的一步是起於將x×0=y×0的等式做成 x=y 的結論。相似地，下面證明了 5=4 的句子也是以函數 f(x)=x² 的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個 x 和 y 會使得 x²=y² 的一正確申論，然後做出了 x=y 的一錯誤結論。

算术例子

證明1是最大的正整數

• 假設最大的正整數不是1，而是 a，有 a > 1。

• a > 1 > 0，a 為正的，所以由 a > 1 得到 a * a > a。

• 但是 a * a 還是正整數，可是沒有任何正整數比 a 大，矛盾。

• 所以最大的正整數是 1。

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

證明1等於-1

• 由一等式開始

  $-1 = -1 \,$

• 將兩邊轉成假分數

  $\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}$

• 將兩邊開方

  $\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}$

• 其會等於

  $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$

• 兩邊同乘$\sqrt{-1}$以來消去分數

  $\sqrt{1}\sqrt{1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1}$

• 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故

  $1 = -1 \,$

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為負數的開方不是实数，$\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}$推出$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$是错误的（事實上，$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = -i$，$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = i$）。

證明1等於2

1. 令$a = b \,$，且$a \ne 0$

2.將兩邊乘以a

$a^{2} = ab \,$

3. 將兩邊減掉$b^{2} \,$

$a^{2} - b^{2} = ab - b^{2} \,$

4. 將兩邊因式分解

$(a + b)(a - b) = b(a - b) \,$

5. 將兩邊除以$a - b \,$

$a + b = b \,$

6. 因為$a = b \,$因此

$b + b = b \,$

7. 簡化

$2b = b \,$

8. 將兩邊除以b

$2 = 1 \,$

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步，由於$a - b \,$等於零，而除以零是無效的。

證明4等於5

• 由一等式開始

  $-20 = -20 \,$

• 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示

  $25 - 45 = 16 - 36 \,$

• 將兩邊做因式分解

  $5^2 - 5 \times 9 = 4^2 - 4 \times 9$

• 將兩邊加上相同的數

  $5^2 - 5 \times 9 + \frac{81}{4} = 4^2 - 4 \times 9 + \frac{81}{4}$

• 將兩邊再做一次因式分解

  $\left(5 - \frac{9}{2}\right)^2 = \left(4 - \frac{9}{2}\right)^2$

• 將兩邊開方

  $5 - \frac{9}{2} = 4 - \frac{9}{2}$

• 消去相同的項

  $5 = 4 \,$

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於 $x^2 = y^2$ 不表示 $x = y$ 的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上， $-\left(5 - \frac{9}{2}\right) = 4 - \frac{9}{2}$。需注意的是，若將 4 減去 $\frac{9}{2}$，會得到 $-\frac{1}{2}$。若再平方的話，則會得到一個正的 $\frac{1}{4}$。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見 $\frac{1}{2}$ 會等於 $\frac{1}{2}$。原始的 $-20=-20$ 式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

證明1+1=0

• 求 $1+1$︰

$\begin{align} 1+1&=1+\sqrt{1} \\ &=1+\sqrt{(-1)(-1)} \\ &=1+\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \\ &=1+i \times i \\ &=1+(-1) \\ &=0\\ \end{align}$

Q.E.D.

此證明的錯誤在於$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$只有在a與b不皆為負數才成立，$\sqrt{(-1)(-1)}$並不等於$\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$。

證明0=1

首先，設定一個無窮級數。

$0 = 0 + 0 + 0 + \cdots$

因為$0 = 1 - 1$，因此：

$0 = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots$

拆括號之後在於不同的地方加上括號：

$0 = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots$

$-1 + 1 = 0$，因此：

$0 = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots$

$0 = 1 \,$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，唯有在特定情況下，才能將括號插入無窮級數。這類條件不適用於級數$s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$。

證明0/0等於0

首先，我們知道：

$0 ^ 4 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0\,$

$0 ^ 2 = 0 \times 0 = 0\,$

由於$a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}$

因此$\frac{0 ^ 4}{0 ^ 2} = 0^{4 - 2} = 0 ^ 2 = 0$

因此$\frac{0}{0} = 0$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，$a ^ {m - n} = \frac{a ^ m}{a ^ n}$成立的前提有$a \ne 0$。

證明任意兩數都是相等的

設$u = a \ , \ v = b - c\,$
設$a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$

由和立方與差立方公式可知：

$(u + \sqrt {v})^3 = u^3 + 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v + v \sqrt{v}$

$(u - \sqrt {v})^3 = u^3 - 3 u^2 \sqrt{v} + 3 u v - v \sqrt{v}$

由於$u = a \ , \ v = b - c\,$

$(a + \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) + (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}$

$(a - \sqrt {b - c})^3 = a \ (a^2 + 3 b - 3 c) - (3 a^2 + b - c)\sqrt{b - c}$

將$a = x - y \ , \ b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$代入$3 a^2 + b - c\,$，可得：

$3 a^2 + b - c = 3 (x^2 - 2 x y + y^2) + x^2 + 2 x y + y^2 - 4 (x^2 - x y + y^2) = 0\,$

因此：

$\begin{align} (a + \sqrt{b - c})^3 &= (a - \sqrt {b - c})^3 \\ a + \sqrt{b - c} &= a - \sqrt {b - c} \\ \sqrt {b - c} &= 0 \\ b - c &= 0 \\ b &= c \\ \end{align}$

代入$b = (x + y)^2 \ , \ c = 4 (x^2 - x y + y^2)\,$，可得：

$\begin{align} (x + y)^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\ x^2 + 2 x y + y^2 &= 4 (x^2 - x y + y^2) \\ -3 x^2 + 6 x y - 3 y^2 &= 0 \\ (x - y)^2 &= 0 \\ x - y &= 0 \\ x &= y \\ \end{align}$

Q.E.D.

这个证明的错误在于：

1、在以上的假设下，可得$v=b-c=(x+y)^2-4(x^2-xy+y^2)=-3(x-y)^2=-3a^2=-3u^2$，所以$u$和$v$并不是独立的；

2、在复数域中，由$x^3=y^3$得不出$x=y$。在此证明中，由$(a+\sqrt{b-c})^3=(a-\sqrt{b-c})^3$得出$a+\sqrt{b-c}=a-\sqrt{b-c}$是错误的。

几何例子

第一题：证明任何三角形都是等腰的

第一题错误的证图

第一题正确的证图

第二题错误的证图

第二题正确的证图

给定三角形△ABC，证明AB = AC:

1. 作 ∠A 的角平分线。
2. 作 BC 的垂直平分线，并设 BC 的中点为 D。
3. 设这两条直线的交点为 P。
4. 从 P 向 AB 和 AC 作垂线，并设垂足为 E 和 F。
5. 作直线 PB 和 PC。
6. △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE 由于 AP 平分 ∠A；∠AEP ≅ ∠AFP 都是直角）。
7. △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC 是直角；PD = PD；BD = CD 由于 PD 平分 BC）。
8. △EPB ≅ △FPC（EP = FP 由于 △EAP ≅ △FAP；BP = CP 由于 △PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC 由于它们是对顶角）。
9. 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。

证毕。

这个证明的错误在于，只有在△ABC為等腰三角形，P 才會位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。

第二题：证明直角等于钝角

给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB；

1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
2. 联结AE。
3. 作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。
4. 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HF，HB=HC。
5. 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。
6. 利用SSS得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。
7. 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。
8. 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。
9. 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠EBC=90°。

证毕。

这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。

微积分例子

证明0等于1

我们从计算以下的不定积分开始：

$\int \frac{1}{x} dx$

利用分部积分法，可得：

$u=\frac{1}{x}$，$dv=dx$

因此：

$du=-\frac{1}{x^2}dx$，$v=x$

所以，有：

$\int \frac{1}{x} dx=\frac{x}{x} - \int \left ( - \frac{1}{x^2} \right ) x dx$

$\int \frac{1}{x} dx=1 + \int \frac{1}{x} dx$

$0 = 1 \,$

证毕。

这个证明的错误在于，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到$1 + \int \frac{1}{x} dx=1 + \ln\ |x|+C=\ln\ |x|+C$。

參見

• 悖論