無限深方形阱

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處於盒子裏的粒子可以自由移動於無法穿越的阱壁內。當阱壁之間距離很微小的時候,可以觀察到量子效應。例如,粒子在某位置的機率比在另外位置的機率大,粒子的能級是離散的。

物理學裏,無限深方形阱(infinite square potential),又稱為無限深位勢阱(infinite potential well),是一個阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子,永遠地束縛於無限深位勢阱內,無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題,稱為無限深方形阱問題,又稱為無限深位勢阱問題盒中粒子問題(particle in a box problem),是一個理論問題。假若,阱內只有一個粒子,則稱為單粒子無限深方形阱問題。假若,阱內有兩個粒子,則稱為雙粒子無限深方形阱問題。假若,這兩個粒子是完全相同的粒子,則問題又複雜許多,稱為雙全同粒子無限深方形阱問題。在這裏,只討論單粒子無限深方形阱問題。

經典力學裏,應用牛頓運動定律,可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞彈性碰撞,粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動,碰撞來,碰撞去,而速率始終保持不變。在任意時間,粒子在阱內各個位置的機率是均勻的。

量子力學裏,這問題突然變得很有意思。許多基要的概念,在這問題的解析中,呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化,應用薛丁格方程,可以很容易地,雖然並不是很直覺地,求得解答。滿足這薛丁格方程的能量本徵函數,是表達粒子量子態波函數。每一個能量本徵函數的能量,只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是,離散能級譜中最小的能級不是 0 ,而是一個有限值,稱為零點能量!這系統的最小能級量子態的能級不是 0 。

更加地,假若測量粒子的位置,則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置,找到粒子的機率是 0 ,絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是,這些結果所根據的原理,早已在許多精心設計的實驗中,廣泛地證明是正確無誤的。

簡介[编辑]

一個一維無限深方形阱,阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。

在量子力學裏,無限深方形阱問題是一個簡單化的,理想化的問題。無限深方形阱是一個有限尺寸的位勢阱,阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。在阱內,粒子感受不到任何作用力,可以自由的移動於阱內。可是,阱壁是無限的高,粒子完全地束縛於阱內。為了刪繁就簡,先從一維問題開始,研討粒子只移動於一維空間的問題。之後,可推廣至二維與三維空間。

這問題的薛丁格方程解答,明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合;可是,與經典力學的理論預測,有很大的衝突。特別令人注目地是,這量子行為是自然地從邊界條件產生的,而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出,任何類似的物理系統,自然地會產生量子行為;與平常的想法恰恰相反,量子行為不是像變魔術一般變出來的。

無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括:

  1. 能量量子化: 表達粒子量子態的能量本徵函數,其伴隨的能量不是任意值,而只能是離散能級譜中的一個能級。
  2. 零點能量: 粒子最小的允許能級,稱為零點能量,不是 0 。
  3. 波節點: 恰恰與經典力學相反,薛丁格方程預測會有波節的存在。這意味著在阱內某些地方,找到粒子的概率是零。

不論這問題有多麼地簡單,由於能夠完全地解析其薛丁格方程,這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上,這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如,一個導電電子在一根直的,極細的奈米金屬絲內的量子行為[來源請求]。更詳細內容,請參閱條目奈米線

一維阱[编辑]

在一維無限深方形阱內,粒子的能級與伴隨的波函數。
在一維無限深方形阱內,找到能級為 n 的粒子的機率。

一個粒子束縛於一維無限深方形阱內,阱寬為 L 。阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向( x 方向)。如圖示,一維無限深方形阱的本徵函數 \psi_n 與本徵值 E_n 分別為

\psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{n \pi x}{L} \right)}
E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}

其中,n 是正值的整數,h普朗克常數m 是粒子質量。

導引[编辑]

一維不含時薛丁格方程可以表達為

 - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d}x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)\quad(1)

其中,\psi(x) 是複值的、不含時間的波函數V(x) 是跟位置有關的位勢,E 是正值的能量。

在阱內,位勢 V(x)= 0 。一維不含時薛丁格方程約化為

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi(x)}{\mathrm{d} x^2} = E \psi(x) \quad(2)

這是一個已經經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數 \psi(x)本徵值 E

\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\quad(3a)
E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\quad(3b)

其中,AB 是常數,可以是複值,k 是實值的波數(因為 E 是正值的,所以,k 必須是實數。)。

為了求得一般解 \psi(x) 的常數 AB ,與波數 k 的值,必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區,位勢越高,找到粒子的機率 \left| \psi(x)\right|^2 越小。在 x=0x=L 兩個阱壁位置,位勢無限的高,找到粒子的機率是微乎其微:\left| \psi(x)\right|^2=0 。所以,邊界條件是

\psi(0)=\psi(L)=0(4)

代入方程 (3a) 。在 x=0 ,可以得到

\psi(0)=B=0(5)

x=L ,可以得到

\psi(L) = A \sin(kL) = 0(6)

方程 (6) 的一個簡易解是 A=0 。可是,這樣,波函數是 \psi = 0 。這意味著一個不可能的物理答案:粒子不在阱內!所以,不能接受這簡易解。設定 A\neq 0 ,則 \sin(kL) = 0 。那麼,必須要求

k = \frac{n \pi}{L} ;(7)

其中,整數 n>0

注意到 n = 0 狀況必須被排除,因為,不能容許波函數是 \psi = 0 的物理答案:粒子不在阱內!

為了求得 A 值,波函數需要歸一化,一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方:

1 = \int_{ - \infty}^{\infty} \left| \psi(x) \right|^2 \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \int_0^L \sin^2 (kx) \, \mathrm{d}x = \left| A \right|^2 \frac{L}{2}

常數 A 的值為

\left| A \right| = \sqrt{\frac{2}{L}}(8)

常數 A 可以是任何複數,只要絕對值等於\sqrt{\frac{2}{L}} ;可是,這些不同值的 A 都對應於同樣的物理狀態。所以,為了方便計算,選擇 A=\sqrt{\frac{2}{L}}

盒中粒子(黑色粗點)和自由粒子(灰色曲線)的能量都同樣地跟波數有關。但是,盒中粒子只能帶有離散的能量。

最後,將方程 (7) ,(8) 代入方程 (3a) ,(3b) 。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值(能級)是

\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)
E_n =  \frac{n^2 h^2}{8mL^2}
  • 如同前面所述,此問題只容許量子化的能級。由於 n\neq 0 ,最低的能級,稱為零點能量,大於 0 。這答案可以用不確定原理解釋。因為粒子束縛於有限的區域,位置變異數有上界。所以,粒子的動量的變異數大於 0 ,粒子必須擁有能量。這能量隨著阱寬的減小而增加。
  • 很重要的一點是,雖然表達粒子量子態的能量本徵函數,其能量只能是離散能級譜中的一個能級。這並不能防止粒子擁有任意的能量,只要這能量大於零點能量。根據態疊加原理,粒子的量子態,可以是幾個能量本徵函數的疊加。當測量粒子的能量時,測量的答案,只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。由於測量會造成波函數塌縮,不能對同一個粒子做多次的測量,而指望得到有意義的答案。必須假設準備了許多同樣的系統。對每一個系統內的粒子,做同樣的測量。雖然,每一次的測量的答案,只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。所有答案的的平均值,是粒子的能量期望值

啟發導引[编辑]

能量本徵值的公式可以啟發地被推導出來。試想,兩個阱壁必定是波函數的波節。這意味著,阱寬必須剛好能夠容納半個波長的整數倍:

n\frac{\lambda}{2} = L

其中,\lambda 是波長,n 是正值的整數。

應用德布羅意假說,粒子的動量 p

p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2L}n

代入聯繫能量與動量的經典公式,則可以得到系統的能量本徵值。

E = \frac{p^2}{2m} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}

二維阱[编辑]

二維無限深方形阱的波函數.,n_x=n_y=4

一個粒子束縛於二維無限深方形阱內,阱寬在 xy 方向,分別為 L_xL_y 。阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向( xy 方向)。二維無限深方形阱的本徵函數 \psi_{n_x,n_y} 與本徵值 E_{n_x,n_y} 分別為

\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)
E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right]

其中,n_xn_y 是正值的整數。

導引[编辑]

在這二維的問題裏,粒子束縛於一個二維位勢阱內,在阱內,二維的解答方程與方程 (2) 類似,是一個二階偏微分方程

 - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) =E\psi

應用分離變數法 。首先,假設 \psi(x,\ y) 是兩個不相關的函數 X(x)Y(y) 的乘積,X(x) 只含有變數 xY(y) 只含有變數 y

 \psi(x,y) = X(x) Y(y)

\psi(x,\ y) 的假設方程代入二維方程,則可得到

 - \frac{\hbar^2}{2m} \left( Y\frac{\partial^2X}{\partial x^2}+X\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} \right) =E X Y

將這方程兩邊都除以 XY ,則可得到

 - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y} \right) =E

由於方程左邊圓括號內的兩個項目 \frac{X''}{X}\frac{Y''}{Y} 分別只跟 xy 有關,兩個項目分別都必須等於常數:

 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{X''}{X} = E_x
 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{Y''}{Y} = E_y

其中,E_xE_y 都是常數,E_x+E_y=E

這樣,可以得到兩個約化的一維薛丁格方程:

 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2X}{d x^2} = E_x X
 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2Y}{d y^2} = E_y Y

前面,已經解析了同樣形式的一維薛丁格方程(方程 (2) )。將那裡的答案移接到這裡,

X_{n_x}=\sqrt{\frac{2}{L_x}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right)
Y_{n_y}=\sqrt{\frac{2}{L_y}} \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)

其中,整數 n_x=1,\ 2,\ 3,\ \dotsn_y=1,\ 2,\ 3,\ \dots

將兩個方程合併,可以得到解答:

\psi_{n_x,n_y} = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right)
E_{n_x,n_y} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 \right]

三維阱[编辑]

同樣地,應用分離變數法於三維阱問題,可以得到能量本徵函數與能量本徵值:

\psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt{\frac{8}{L_x L_y L_z}} \sin \left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin \left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right) \sin \left( \frac{n_z \pi z}{L_z} \right)
E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{h^2}{8m} \left[ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 \right]

其中,n_i=1,\ 2,\ 3,\ \ldots

當兩個以上的阱寬相等的時候,對應於同樣的總能量,會存在有多個不同的波函數。這狀況稱為簡併,是由物理系統的對稱性造成的。例如,假設 一個三維阱的 L_x=L_y ,則 n_x=2n_y=1n_z=1 的波函數與 n_x=1n_y=2n_z=1 的波函數,兩個波函數的能量相等。由於在這物理系統裏,有兩個阱寬相等,這物理系統對稱於繞著 z-軸的 90^{\circ} 旋轉。

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 

參閱[编辑]