無限脈衝響應濾波器

無限脈衝響應濾波器，簡稱IIR數位濾波器（英语：infinite impulse response filter），是數位濾波器的一種。由於無限脈衝響應濾波器中存在反饋迴路，因此對於脈衝輸入信號的響應是無限延續的。

討論

無限脈衝響應濾波器的脈衝響應無限長，不像有限脈衝響應濾波器，所以有以下問題：

• 如何使能量集中在$n=0\,$ 附近。
• 如何正向Z轉換(forward Z transform)以及逆向Z轉換(inverse Z transform)為穩定。

能使用最小相位濾波器(minimum phase filter)來解決以上問題，使一無限脈衝響應濾波器為穩定且能量集中在$n=0\,$ 附近。

• 最小相位濾波器(minimum phase filter)：所有的極點(poles)以及零點(zeros)都在單位圓以內。

最小相位濾波器為穩定(stable)且因果(causal)，且最小相位濾波器的逆向(inverse)轉換也為穩定(stable)且因果(causal)。

$H(z)=C\frac{(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)...(z-z_R)}{(z-p_1)(z-p_2)(z-p_3)...(z-p_S)}\,$

$H^{-1}(z)=C^{-1}z^{S-R}\frac{(1-p_1z^{-1})(1-p_2z^{-1})(1-p_3z^{-1})...(1-p_Sz^{-1})}{(1-z_1z^{-1})(1-z_2z^{-1})(1-z_3z^{-1})...(1-z_Rz^{-1})}\,$

其中$z_1,z_2,...z_R\,$為$R\,$ 個零點，$p_1,p_2,...p_S\,$為$S\,$個極點，$R\,$ 個零點和$S\,$ 個極點都在單位圓內。

• 如何將無限脈衝響應濾波器轉換成最小相位濾波器：

$H(z)=C\frac{(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)...(z-z_R)}{(z-p_1)(z-p_2)(z-p_3)...(z-p_S)}\,$

假設$z_2\,$ 在單位圓內。

$H_1(z)=C\frac{(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)...(z-z_R)}{(z-p_1)(z-p_2)(z-p_3)...(z-p_S)} \times z_2\frac{z-\overline{(z_2^{-1})}}{(z-z_2)}\,$

$=z_2C\frac{(z-z_1)(z-\overline{(z_2^{-1})})(z-z_3)...(z-z_R)}{(z-p_1)(z-p_2)(z-p_3)...(z-p_S)}\,$

$H_1(z)\,$為最小相位濾波器(minimum phase filter)，符合$|H_1(z)|=|H(z)|\,$且$H_1(z)\,$和$H(z)\,$只有相位不同。

另外，$z_2\frac{z-\overline{(z_2^{-1})}}{(z-z_2)}\,$稱為全通濾波器(all pass filter)。

• 無限脈衝響應濾波器為一個最小相位濾波器和一個全通濾波器串接(cascade)：

$H(z)=H_{mp}(z)H_{ap}(z)\,$

其中$H(z)\,$：無限脈衝響應濾波器，$H_{mp}(z)\,$：最小相位濾波器，$H_{ap}(z)\,$：全通濾波器。

特性

無限脈衝響應濾波器(IIR filter)的優點：

• 較容易設計以及實現。

無限脈衝響應濾波器(IIR filter)的缺點：

• 脈衝響應(impulse response)為無限長：造成當輸入數位訊號為有限長的時候，輸出數位訊號會變成無限長。
• 比有限脈衝響應濾波器(FIR filter)較不易最佳化(optimize)。
• 不一定是穩定的(stable)：因為Z轉換(Z transform)後所有的極點(pole)不一定都在單位圓內。

設計方法

• bilinear transform
• impulse invariant
• step invariant
• 其他方式

参见

• 数字信号处理
• 数字滤波器