熱帶幾何

熱帶幾何是數學的一支，首先由巴西數學家兼計算機科學家伊姆雷·西蒙於1980年代發展；「熱帶」一詞源於部份法國數學家對巴西的刻板印象。大略言之，熱帶幾何可謂是分片線性化的代數幾何。它在計數代數幾何中有重要的應用。

基本定義[编辑]

定義熱帶半環（又稱極小-加法代數，見下述定義）為 $(\mathbf {R} \cup \{\infty \},\oplus ,\otimes )$ ，其運算為：

x\oplus y=\min\{\,x,y\,\},\,

x\otimes y=x+y.\,

此半環中的單項式不外就是線性映射；而多項式是對若干個線性映射取極小值，因此是個分片線性凹函數。稱之為熱帶多項式。一個熱帶多項式 $F$ 的非光滑點集合稱為熱帶超曲面。可以證明：

上述兩種刻劃提供了組合學與代數學之間的對應。給定一個合適的代數問題，我們可將之轉化為較易處理的組合問題以求解。

一如代數幾何中的情形，熱帶超曲面的定義可以推廣到熱帶簇：取 $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 中的理想 $I$ ，定義相應的熱帶簇 $V(I)$ 為 $I$ 的變形體。可以證明 $V(I)=\bigcap _{f\in I}V(f)$ ，而且可取有限并集。

目前已有較深入研究的是平面上的熱帶幾何。許多代數幾何中的古典定理皆有相應的版本。