熱帶幾何

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熱帶幾何數學的一支,首先由巴西數學家兼計算機科學家 Imre Simon 於 1980 年代發展;「熱帶」一詞源於部份法國數學家對巴西的刻板印想。大略言之,熱帶幾何可謂是分片線性化的代數幾何。它在計數代數幾何中有重要的應用。

基本定義[编辑]

定義熱帶半環(又稱極小-加法代數,見下述定義)為 (\mathbf{R} \cup \{\infty\}, \oplus, \otimes),其運算為:

 x \oplus y = \min\{\, x, y \,\},\,
 x \otimes y = x + y.\,

此半環中的單項式不外就是線性映射;而多項式是對若干個線性映射取極小值,因此是個分片線性凹函數。稱之為熱帶多項式。一個熱帶多項式 F 的非光滑點集合稱為熱帶超曲面。可以證明:

  1. 熱帶超曲面即是滿足「零張力條件」的有理多面體複形。
  2. K皮瑟級數環,這是一個代數封閉的非阿基米德域。熱帶超曲面即 K 上的變形體

上述兩種刻劃提供了組合學與代數學之間的對應。給定一個合適的代數問題,我們可將之轉化為較易處理的組合問題以求解。

一如代數幾何中的情形,熱帶超曲面的定義可以推廣到熱帶簇:取 K[X_1, \ldots, X_n] 中的理想 I,定義相應的熱帶簇 V(I)I 的變形體。可以證明 V(I) = \bigcap_{f \in I} V(f),而且可取有限并集。

目前已有較深入研究的是平面上的熱帶幾何。許多代數幾何中的古典定理皆有相應的版本。

外部連結[编辑]

導論[编辑]

演講視頻[编辑]