爱因斯坦场方程

刻上真空場方程式的紀念硬幣。

從等效原理（1907年）開始，到後來（1912年前後）發展出「宇宙中一切物質的運動都可以用曲率來描述，重力場實際上是彎曲時空的表現」的思想，愛因斯坦歷經漫長的試誤過程，於1916年11月25日寫下了重力場方程式而完成廣義相對論。這條方程式稱作愛因斯坦重力場方程式，或簡為愛因斯坦場方程式或愛因斯坦方程式：

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$

其中

• $G_{\mu\nu}\,$稱為愛因斯坦張量，
• $R_{\mu\nu}\,$是從黎曼張量縮併而成的里奇張量，代表曲率項；
• $g_{\mu\nu}\,$是從(3+1)維時空的度量張量；
• $T_{\mu\nu}\,$是能量-動量-應力張量，
• $G\,$是重力常數，
• $c\,$是真空中光速。

该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。球面对称的准确解称史瓦西解。

愛因斯坦場方程式的性質

能量與動量守恆

場方程式的一個重要結果是遵守局域的(local)能量與動量守恆，透過應力-能量張量（代表能量密度、動量密度以及應力）可寫出：

$\nabla_\nu T^{\mu \nu}= T^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0$

場方程式左邊（彎曲幾何部份）因為和場方程式右邊（物質狀態部份）僅成比例關係，物質狀態部份所遵守的守恆律因而要求彎曲幾何部份也有相似的數學結果。透過微分比安基恒等式，以描述時空曲率的里奇張量$R^{\mu \nu} \,$（以及張量縮併後的里奇純量$R \equiv R^\mu_\mu \,$）之代數關係所設計出來的愛因斯坦張量$G^{\mu \nu} \equiv R^{\mu \nu} - {1\over 2} g^{\mu \nu} R$可以滿足這項要求：

$\nabla_\nu G^{\mu \nu}=G^{\mu \nu}{}_{;\nu}=0$

場方程式為非線性的

愛因斯坦場方程式的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。舉例來說，電磁學的馬克士威方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分佈是呈線性關係（亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解）。另個例子是量子力學中的薛丁格方程式，對於機率波函數也是線性的。

對應原理

透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程式退化為牛頓重力定律。事實上，場方程式中的比例常數是經過這兩個近似，以跟牛頓重力理論做連結後所得出。

添加宇宙常數項

愛因斯坦為了使宇宙能呈現為靜態宇宙（不動態變化的宇宙，既不膨脹也不收縮），在後來又嘗試加入了一個常數$\Lambda\,$相關的項$\Lambda g_{\mu\nu} \,$於場方程式中，使得場方程式形式變為：

$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$

可以注意到$\Lambda g_{\mu\nu} \,$這一項正比於度規張量，而維持住守恆律：

$\nabla_\nu (\Lambda g_{\mu \nu})= \Lambda \nabla_\nu (g_{\mu \nu}) = 0$

此一常數$\Lambda$被稱為宇宙常數。

這個嘗試後來因為兩個原因而顯得不正確且多此一舉：

1. 此一理論所描述的靜態宇宙是不穩定的。
2. 十年後，由愛德溫·哈伯對於遠處星系所作觀測的結果證實我們的宇宙正在膨脹，而非靜態。

因此，$\Lambda$項在之後被捨棄掉，且愛因斯坦稱之為「一生中最大的錯誤」("biggest blunder [he] ever made")。之後許多年，學界普遍設宇宙常數為0。

儘管最初愛因斯坦引入宇宙常數項的動機有誤，將這樣的項放入場方程式中並不會導致任何的不一致性。事實上，近年來天文學研究技術上的進步發現，要是存在不為零的$\Lambda$確實可以解釋一些觀測結果。

愛因斯坦當初將宇宙常數視為一個獨立參數，不過宇宙常數項可以透過代數運算移動到場方程式的另一邊，而將這一項寫成應力-能量張量的一部分：

$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = {8 \pi G \over c^4} \left( T_{\mu\nu} - \frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G} \right)$

剛才提到的項即可定義為：

$T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} \equiv -\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}$

而另外又可以定義常數

$\rho_{\mathrm{vac}} \equiv \frac{c^2\Lambda}{8 \pi G}$

為「真空能量」密度。宇宙常數的存在等同於非零真空能量的存在；這些名詞前在廣義相對論中常交替使用。也就是說可以將$T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} \equiv -\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}$看成和$T_{\mu\nu} \,$是一樣類型的量，只是$T_{\mu\nu} \,$的來源是物質與輻射，而$-\frac{c^4\Lambda g_{\mu\nu}}{8 \pi G}$的來源則是真空能量。物質、輻射與真空能量三者在物理宇宙學中扮演要角。

真空場方程式

宇宙常數為零

若能量-動量張量$T_{\mu \nu}$在所關注的區域中為零，則場方程式被稱作真空場方程式。在完整的場方程式中設定$T_{\mu \nu}=0$，則真空場方程式可寫為：

$R_{\mu \nu} = {1 \over 2} g_{\mu \nu} R\$

對此式做張量縮併，亦即使指標μ跟ν相同：

$R \equiv R^\mu_\mu = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} {1 \over 2} g_{\mu \nu} R$

由於$g^{\mu \nu}g_{\mu \nu} = \delta^\mu_\mu$，整理可得：

$R = \delta^\mu_\mu {1 \over 2}R$

而克羅內克爾δ在四維空間（時空）下取跡數為4，所以式子可寫作：

$R = 4 \cdot {1 \over 2} R = 2R$

是故$R=0\,$。

因此可以得到此一更常見、等價的跡數反轉(trace-reversed)式：

$R_{\mu \nu} = 0\$

宇宙常數不為零

若宇宙常數不為零，則方程式為

$R_{\mu \nu} = {1 \over 2} g_{\mu \nu} R - \Lambda g_{\mu \nu},\$

若同上面宇宙常數為零的例子，其跡數反轉(trace-reversed)形式為

$R_{\mu \nu} = \Lambda g_{\mu \nu}\$

真空場方程式的解顧名思義稱作真空解。平直閔可夫斯基時空是最簡單的真空解範例。不尋常的真空解範例包括了史瓦西解與克爾解。

附帶一提的是：微分幾何中，里奇張量為零（即：$R_{\mu \nu}=0$）的流形稱作里奇平坦流形，另外里奇張量與度規成比例關係的流形，稱為愛因斯坦流形(Einstein manifold)。

參見

• 廣義相對論資源

參考文獻

• Aczel, Amir D., 1999. God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe. Delta Science. A popular account.
• Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, 1973. Gravitation. W H Freeman.