牛頓第二運動定律

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在鉅著《自然哲學的數學原理》1687年版本裏，以拉丁文撰寫的牛頓第一定律及牛頓第二定律。

经典力学

$\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \mathbf{v})$ 牛頓第二定律

歷史、年表            分支 静力学、動力學、運動學 工程力學、天體力學 連續介質力學、統計力學 理論表述 牛頓力學（矢量力學） 分析力學： 拉格朗日力學 哈密頓力學 基礎概念 空間、時間、速度、加速度 質量、重力、力矩、參考系 力、力偶、動量、刚体 角動量、慣性、慣性矩 能量、動能、勢能、虛功 作用量、拉格朗日量 、衝量 哈密頓量、機械功 重要理论 牛頓運動定律、虎克定律 牛頓萬有引力定律 简谐振动、達朗伯特原理 歐拉方程式、哈密頓原理 拉格朗日方程式 最小作用量原理 科學家 克卜勒、牛頓、歐拉 達朗貝爾、哈密頓、赫茲 拉格朗日、拉普拉斯 伽利略、雅可比、諾特

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf{r}\,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

牛頓第二運動定律（Newton's second law of motion）說明了物體的加速度與物體所受的凈力成正比，並和物體的質量成反比。而物體加速度的方向與凈力的方向相同。

以物理學的觀點來看，牛頓第二定律亦可以表述為「物體隨時間變化之动量变化率和所受外力之和成正比」。即动量对时间的一阶导数等于外力之和。

概述

牛頓第二定律表明，物體的加速度与施加的淨外力成正比，与物体的質量成反比，方向与合外力方向相同。這定律又稱為「加速度定律」。以方程式表達，

$\mathbf{F} \propto m\mathbf{a}$ ；

其中，$\mathbf{F}$ 是淨外力，是所有施加於物體的力的向量和，m 是質量，$\mathbf{a}$ 是加速度。

而数学上，牛顿第二定律通常表达为：

$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ ；

这里实际上定义了质量为合外力与加速度的比率。这样定义的质量称为物体的惯性质量，是物体的固有属性，与外力无关。这样在数量上，施加于物体的合外力等于物体质量与加速度的乘积。國際標準制中，将力的单位定义为使得单位质量的物体得到单位加速度的所需，这与惯性质量的定义相容。

具体来说，力、加速度、質量的單位分別規定為牛頓（N）、公尺每二次方秒（m/s²），公斤（kg）。施加1牛顿的力於質量為1公斤的物體，可以使此物體的加速度為1m/s²。也就是說，

$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ 。

淨外力只能造成物體朝著同方向的加速度運動。假定物體的質量、初始速度與初始位置為已知量，則從施加於物體的淨外力，可以應用第二定律計算出物體的運動轨迹。這是一個非常有用的方法。

淨外力與加速度都是向量，這向量方程式實際是由三個純量方程式組成的。採用直角坐標系 (x,y,z) ，這三個純量方程式分別為

F_x = ma_x 、

F_y = ma_y 、

F_z = ma_z ；

其中，(F_x,F_y,F_z) 是 $\mathbf{F}$ 的分量，(a_x,a_y,a_z) 是 $\mathbf{a}$ 的分量。

淨外力在每個坐标軸方向上的分量只能影響加速度在那個坐标軸方向上的分量，不能影響加速度的其它分量，而加速度對於每個軸的分量也只能被淨外力對於那個軸的分量影響，不能被淨外力的其它分量影響。

假設施加於物體的淨外力為零，則加速度為零，速度為常數。由於動量是質量與速度的乘積，這意味著動量守恆：當施加於物體的淨外力為零時，物體的動量是常數。

牛頓的論述

原版第二定律的英文翻譯為

The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.

「motion」是「quantity of motion」的簡稱，在這裏指的是物體的動量。「impressed force」指的是衝量。 整個句子翻譯為

動量的變化與衝量成同向正比。

牛頓試著解釋衝量與動量之間的關係。假設施加於物體的衝量造成了物體的動量改變，則雙倍的衝量會造成雙倍的動量改變，三倍的衝量會造成三倍的動量改變，不論衝量是全部同時施加，還是一部分一部分慢慢地施加，所造成的動量改變都一樣。

牛頓又試著解釋這動量改變與原先動量之間的關係。這動量改變必定與施加的衝量同方向。假設在衝量施加之前，物體已具有某動量，則這動量改變會與原先動量相加或相減，依它們是同方向還是反方向而定，假設動量改變與原先動量呈某角度，則最終動量是兩者按著角度合成的結果。

牛頓所使用的術語的涵意、他對於第二定律的認知、他想要第二定律如何被眾學者認知、以及牛頓表述與現代表述之間的關係，科學歷史學者對於這些論題都已經做過廣泛地研究與討論。

質量的操作型定義

牛頓定義質量為物體內部所含有的物質數量。這句話相當合理。但是，它接著表示，這物質數量，可以從物體的密度與體積乘積求得。德國物理學者恩斯特·馬赫嚴厲批評這句話觸犯了循環推理，因為密度是質量每單位體積。嚴謹地思考，牛頓的定義並沒有提到怎樣實際得到物質數量。對於同類的物體，這問題並不困難，只要設定某參考物體S的質量為標準質量，那麼，兩個物體S的質量必定是這標準質量的兩倍。對於不同類的物體，就比較複雜，假設這參考物體是一塊銀磚，那麼，某塊金磚的質量為何？是否要做原子分析？藉著第二定律，操作型定義嘗試從實際測量的方法，給出物體的質量。通過這種方法定義的質量，稱為慣性質量。當施加外力於某物體時，慣性質量衡量這物體對於運動狀態改變的抗拒。

根據第二定律，在任何瞬間，物體遵循方程式 F = ma 。這方程式可以解釋質量與慣性之間的關係。假設分別施加相同的外力於兩個質量不同的物體，則質量較大的物體的加速度較小，而質量較小的物體的加速度較大。因此，質量較大的物體在響應外力的作用時，對於改變其運動狀態表現出較強的「抗拒性」。

然而，怎樣才能製造出相同的力？有很多方法可以解決這問題。例如，應用彈簧的物理性質，就可以解決這問題。當彈簧被壓縮時，它會因為傾向於回復原狀而產生彈力。兩個同樣的彈簧，假若被壓縮同樣的距離，則其各自產生的彈力必定相等，不論彈力的大小為何。因此，將兩個物體，分別安裝在這彈簧的末端，就可以確保這兩個物體都感受到相等的力。假設這質量分別為 m_A 、 m_B 的兩個物體A、B，由於感受到力 F ，加速度分別為 a_A 、 a_B ，則

F = m_Aa_A = m_Ba_B 。

因此，可以從 m_A 計算出 m_B ：

$m_B=\frac{a_A}{a_B}m_A$ 。

按照這公式，選擇一個參考物體A，定義它的質量為（譬如说）1千克。然後，通過測量與參考物體感受到同樣大小的力而產生的加速度，就可以計算出任何其它物體B的質量。

力的操作型定義

古斯塔夫·基爾霍夫主張定義外力為質量與加速度的乘積。按照這方法，第二定律只是一個定義式，而不是自然法則。實際而言，這方法沒有將大自然裏各種各樣的力納入考量，它忽略了每一種力的獨特性。為了要顯示出這獨特性，可以採用操作型定義的方法來給出定義。

兩個同樣的彈簧，假若被壓縮同樣的距離，則其各自產生的彈力必定相等。將這兩個彈簧並聯，可以製成兩倍的彈力。將一物體的兩邊分別連接這兩個彈簧的末端，使彈力方向相反，則作用於物體的淨力為零，物體會保持靜止狀態。應用這些結果，設定標準單位力為某彈簧壓縮某距離所產生的彈力，就可以製成任意標準單位力倍數的彈力。這可以用來做測量實驗，比較任意彈力，給予任意彈力測量值。這方法也可以給予任意萬有引力、地球引力測量值。

假設一個彈簧被壓縮一段距離，則經過上述測量實驗，可以得知，安裝在這彈簧末端的物體，會感受到的彈力 F_s 為

F_s = − kx ；

其中，k 是彈簧常數，x 是壓縮距離。

假設質量分別為 m_A 、 m_B 的兩個物體A、B之間的距離為 r ，則經過上述測量實驗，可以得知，物體B施加於物體A的萬有引力 F_G 為

$F_G=-G\frac{m_A m_B}{r^2}$ ；

其中，G 是萬有引力常數。

假設在地球表面有一質量 m 為的物體，則則經過上述測量實驗，可以得知，這物體感受到的地球引力 F_g 為

F_g = mg ；

其中，g 是重力加速度。

衝量

假設施加外力 $\mathbf{F}$ 於某物體的時間有 Δt 那麼久，則這等於施加衝量 $\mathbf{J}$ 於此物體：

$\mathbf{J} = \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t$ 。

根據現代的第二定律，

$\mathbf{F} =m\mathbf{a}$ 。

經過 Δt ，假定質量不變，動量 $\mathbf{p}$ 的改變為

$\Delta \mathbf{p} = m\Delta\mathbf{v}=m\int_{\Delta t} \mathbf{a} \,\mathrm{d}t= \int_{\Delta t} \mathbf F \,\mathrm{d}t$ 。

所以，衝量與動量之間的關係式為

$\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p}$ 。

這就是原版第二定律。

衝量的概念時常被用來分析碰撞與撞擊問題。

可變質量系統

火箭的燃料經過燃燒以後，會產生高溫高壓氣體，經過加速排氣到外界，就可以推動火箭前進。這種可變質量系統不是封閉系統，不能直接應用第二定律。因為，基本而言，第二定律只能應用於粒子（或理想化為粒子的物體）。對於多粒子系統案例，必需將第二定律加以延伸為

$\mathbf{F}_{\mathrm{net}} = M\mathbf{a}_\mathrm{cm}$ ；

其中，$\mathbf{F}_{\mathrm{net}}$ 是施加於系統的淨外力，M 是系統的總質量，$\mathbf{a}_\mathrm{cm}$ 是系統質心的加速度。

對於像火箭一類的可變質量系統，必需將第二定律的方程式添加一個項目，這項目專門計算進入或離開火箭的質量所帶有的動量：

$\mathbf{F}_g+ \mathbf{u} \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d}\mathbf{v}\over \mathrm{d}t}$；

其中，$\mathbf{F}_g$ 是施加於火箭的外力，例如地球施加於火箭的重力，$\mathbf{u}$ 是從火箭觀測的排出氣體的相對速度，m 是火箭的質量，$\mathbf{v}$ 是火箭的速度（相對於發射台參考系）。

火箭的推力定義為

$\mathbf{F}_t\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{u} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$ 。

將這定義式代入，可以得到

$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$

其中，$\mathbf{F}=\mathbf{F}_g+\mathbf{F}_t$ 是外力與推力的向量和。

參閱

麻省理工學院物理教授華特·盧文（Walter Lewin）講解牛頓第二定律。 (MIT OCW)

• 伊萨克·牛顿
• 牛頓運動定律
  • 牛頓第一運動定律
  • 牛頓第二運動定律
  • 牛頓第三運動定律
• 物理学定律列表

參考文獻

• Newton, Isaac, Newton's Principia : the mathematical principles of natural philosophy, New York: Daniel Adee. 1846 　請上網閱讀作者Andrew Motte的英文翻譯。
• Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.. 1988 da:Newtons anden lov