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牛頓-寇次公式

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數值分析上,梯形法則辛卜生法則均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。

這兩種方法都屬於牛頓-寇次公式。它們以函數於等距n+1點的值,取得一個n次的多項式來近似原來的函數,再行求積。

梯形法則[编辑]

原函數(藍色)近似為紅色的線性函數
多重梯形法則

梯形法則是:

 \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.

這等同將被積函數近似為直線函數,被積的部分近似為梯形

要求得較準確的數值,可以將要求積的區間分成多個小區間,再個別估計,即:

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right).

可改寫成

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2n} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right)

其中

k=0, 1, \dots, nx_k=a+k \frac{b-a}{n},

辛卜生法則[编辑]

辛卜生法則(Simpson's rule,又稱森遜法則辛普森法則)是:

 \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].

同樣地,辛卜生法則也有多重的版本:

\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac h3 \cdot \left[  f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+4\sum_{k=1}^{n}f \left( \frac{x_{k-1}+x_k}2 \right)+ f(x_n) \right]
h = \frac{b-a}{n}, \ x_k=a+k\cdot h.

或寫成

\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg]

牛頓-寇次公式[编辑]

牛頓-寇次公式(Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula)以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是:

\int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)

其中對k=0, 1, \dots, nw_i是常數(由n的值決定),x_k=a+k \frac{b-a}{n}

梯形法則和辛卜生法則便是n=1,2的情況。

亦有不採用在邊界點來估計的版本,即取 x_k = a + k \frac{b-a}{n+1}

原理[编辑]

該積分便可以作為\int_a^b f(x) \, dx的近似,而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數(由n決定其值),所以積函數的係數(即w_i)都是常數。

缺點[编辑]

對於次數較高的多項式而有很大誤差(龍格現象),不如高斯積分法。

例子[编辑]

下表中f_i=f(x_i)\xi \in [a,b]

精度 名稱 公式 誤差
1 梯形法則  \frac{h}{2} (f_0 + f_1) -\frac{h^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)
2 辛卜生法則  \frac{h}{6} (f_0 + 4 f_1 + f_2) -\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)
3 辛卜生3/8法則
辛卜生第二法則
 \frac{h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3) -\frac{3h^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)
4 保爾法則
(Boole's rule
/ Bode's rule)
 \frac{h}{90} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4) -\frac{8h^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)
不用界點的
0 中點法 2 h f_1\, \frac{h^3}{24}\,f^{(2)}(\xi)
1  \frac{3h}{2} (f_1 + f_2)  \frac{h^3}{4}\,f^{(2)}(\xi)
2  \frac{4h}{3} (2 f_1 - f_2 + 2 f_3)  \frac{28h^5}{90}f^{(4)}(\xi)
3  \frac{5h}{24} (11 f_1 + f_2 + f_3 + 11 f_4)  \frac{95h^5}{144}f^{(4)}(\xi)

參考[编辑]

  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

外部連結[编辑]