牛顿多项式

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牛頓多項式英语Newton Polynomial)是數值分析中一種用於插值的多項式,它以英國數學家和物理學家牛頓命名。

定義[编辑]

給定包含k + 1個數據點的集合(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)

如果對於\forall i, j \in \left\{0, ..., k\right\}, i \ne j,滿足x_i \ne x_j,那麼應用牛頓插值公式所得到的牛頓插值多項式為

N(x) := \sum_{j=0}^{k} a_{j} n_{j}(x)

其中每個n_{j}(x)為牛頓基本多項式(或稱插值基函數),其表達式為

n_j(x) := \prod_{i=0}^{j-1} (x - x_i)

其中j > 0,並且n_0(x) \equiv 1

係數a_j := [y_0,\ldots,y_j],而[y_0,\ldots,y_j]表示差商

差商表(高階差商是兩個低一階差商的差商)
0階差商 1階差商 2階差商 3階差商 \ldots k-1階差商
x_{0} f[x_{0}]
x_{1} f[x_{1}] f[x_{0}, x_{1}]
x_{2} f[x_{2}] f[x_{1}, x_{2}] f[x_{0}, x_{1}, x_{2}]
x_{3} f[x_{3}] f[x_{2}, x_{3}] f[x_{1}, x_{2}, x_{3}] f[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}]
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
x_{k} f[x_{k}] f[x_{k-1}, x_{k}] f[x_{k-2}, x_{k-1}, x_{k}] f[x_{k-3}, x_{k-2}, x_{k-1}, x_{k}] \ldots f[x_{0}, \ldots, x_{k}]

因此,牛頓多項式可以寫作:

N(x) = [y_0] + [y_0,y_1](x-x_0) + \cdots + [y_0,\ldots,y_k](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{k-1})

參考資料[编辑]