特徵多項式

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線性代數中,對一個線性自同態(取定即等價於方陣)可定義其特徵多項式,此多項式包含該自同態的一些重要性質,例如行列式跡數特徵值

定義[编辑]

k 為域(例如實數複數域),對佈於 k 上的 n \times n 矩陣 A,定義其特徵多項式

p_A(t) := \det (t I_n - A) \in k[t]

這是一個 n 次多項式,其首項係數為一。

一般而言,對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

性質[编辑]

A 為上三角矩陣(或下三角矩陣)時,p_A(t) = \prod_{i=1}^n (t-\lambda_i),其中 \lambda_1, \ldots, \lambda_n 是主對角線上的元素。

對於二階方陣,特徵多項式能表為 p_A(t) = t^2 - \mathrm{tr}(A)t + \det A 。一般而言,若 p_A(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \ldots + a_0,則 a_0 = (-1)^n \det(A)a_{n-1} = -\mathrm{tr}(A)

此外:

  • 特徵多項式在基變更下不變:若存在可逆方陣 C 使得 B = C^{-1}AC,則 p_A(t) = p_B(t)
  • 對任意兩方陣 A, B,有 p_{AB}(t) = p_{BA}(t)。一般而言,若 Am \times n 矩陣,Bn \times m 矩陣(設 m < n),則 p_{AB}(t) = t^{n-m} p_{BA}(t)
  • 凱萊-哈密頓定理p_A(A)=0