特徵標理論

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數學裡,尤其是在群表示理論裡,一個群表示的特徵標character)是指一個將的每個元素連結至表示空間這個內的每個元素之函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質,且因此可以用來做群的研究。

特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論,如伯恩賽德定理理查·布勞爾鈴木通夫所證出之定理,此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群西洛2-子群

定義[编辑]

V為一個F上的有限維向量空間且設\rho\colon G\to\mathrm{GL}(V)為一個群GV上的表示。則ρ的特徵標即為如下給定之函數

\chi_{\rho}(g) = \mathrm{Tr}(\rho(g))\,

其中\mathrm{Tr}為矩陣的跡數

一個特徵標χρ若被稱為是不可約的,即表示ρ是一個不可約表示。若被稱為是線性的,則表示ρ的維度等於1。χρ為集合

\ker \chi_{\rho} := \left \lbrace g \in G \mid \chi_{\rho}(g) = \chi_{\rho}(1) \right \rbrace

其中\chi_{\rho}(1)是χρ在群單位元上的值。當ρ是Gk維表示且1為G的單位元時,

\chi_{\rho}(1) = \operatorname{Tr}(\rho(1)) = \operatorname{Tr} \begin{bmatrix}1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & 1\end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^k 1 = k = \dim \rho

特徵標群的情況不同,一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。

拓撲群的情形[编辑]

調和分析中,通常定義局部緊阿貝爾拓撲群 G 的特徵標為連續群同態 \chi: G \to \mathbb{S}^1;在此,\mathbb{S}^1 表示單位圓構成的群,等價地說就是 \mathbb{R}/\mathbb{Z}

部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 \chi: G \to \mathbb{C}^\times,而將取值在 \mathbb{S}^1 者稱作么特徵標。其他人則保留原初定義,而將這類廣義的特徵標稱為擬特徵標

G 的全體特徵標構成一個群 \hat{G},群二元運算的定義是 (\chi \cdot \eta)(g) = \chi(g) \to \eta(g),稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質。

性質[编辑]

  • 特徵標是一個類函數,即為對一個共軛類內的所有元素來說,χ會是個常數。
  • 两个同構表示會有相同的特徵標。若系数域的特征char(F)=0,则两个表示為同構的,若且唯若它们有著完全相同的特徵標。
  • 若一個表示可以是多個子表示的直和:V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdot \oplus W_r ,則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和:\forall g \in G, \ \chi_V (g) = \chi_{W_1} (g) + \chi_{W_2} (g) + \cdot + \chi_{W_r} (g)
  • 在有限群的情况下,每個特徵標\chi\ (g) 都是n個m次單位根之和,其中n為表示內域的維度,m則是g的
  • F代數封閉的且char(F)不可以整除G|,則G的不可約特徵標之數量等於G共軛類數: |Irr(G)| = |Conj(G)|

算術性質[编辑]

\rho\sigmaG的兩個表示,則有下列的等式成立:

\chi_{\rho \oplus \sigma} = \chi_\rho + \chi_\sigma
\chi_{\rho \otimes \sigma} = \chi_\rho \cdot \chi_\sigma
\chi_{\rho^*} = \overline {\chi_\rho}
\chi_{\textrm{Alt}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ 
\left(\chi_\rho (g) \right)^2 - \chi_\rho (g^2) \right]
\chi_{\textrm{Sym}^2 \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ 
\left(\chi_\rho (g) \right)^2 + \chi_\rho (g^2) \right]

其中\rho \oplus \sigma為兩者的直和\rho \otimes \sigma為兩者的張量積\rho^*\rho共軛轉置、以及Alt称为交替積\textrm{Alt}^2 \rho = \rho \wedge \rho Sym則称为對稱方,其值由下式決定

\rho \otimes \rho = \left(\rho \wedge \rho \right) \oplus \textrm{Sym}^2 \rho.

特徵標的誘導與限制[编辑]

G 為有限群,H \leq G 為其子群,而 \rho 為 G 的表示,其特徵標記為 \chi。令 \mathrm{Ind}^G_H(\chi) 為誘導表示 \mathrm{Ind}^G_H(\rho) 的特徵標;根據弗羅貝尼烏斯互反定理,對所有 G 的特徵標 \eta,恆有下述等式

\langle \mathrm{Ind}^G_H(\chi), \eta \rangle_G = \langle \chi, \eta|_H \rangle_H

此等式可用來刻劃類函數 \mathrm{Ind}^G_H(\chi)。事實上,若選定陪集分解

G = \bigcup_t Ht

還可以明確地寫下 \mathrm{Ind}^G_H(\chi) 的取值:

\mathrm{Ind}^G_H(\chi)(g) = \begin{cases}
\sum_{tht^{-1} \in H} \chi(tht^{-1}), \mbox{ if g is conjugate to some h} \in H \\
0, \mbox{ otherwise}
\end{cases}

特徵標表[编辑]

一個有限群的不可約特徵標可以形成一個特徵標表,其蘊含著許多有關群G在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個G的共軛類上的值。

下面是有三個元素之循環群C3的特徵標表:

  (1) (u) (u2)
1 1 1 1
χ1 1 u u2
χ2 1 u2 u

其中的u為一個原三次單位根。

特徵標表總會是正方的,因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是1,其對應至群的當然表示上。

正交關係[编辑]

有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係

對特徵標(即對特徵標表中的行)的內積由下給出:

\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle := \frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)} 其中 \overline{\chi_j(g)} 表示 \chi_{j}g上的值的複數共軛。

對於此一內積而言,不可約特徵標两两正規正交: \left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle  = \begin{cases} 0  & \mbox{if} i \ne j, \\ 1 & \mbox{if} i = j. \end{cases}

對表中的列的正交關係則由下列給出:

g, h \in G,其和為\frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{\chi_i} \chi_i(g) \overline{\chi_i(h)} = \begin{cases}1/\left | C_G(g) \right |, & \mbox{ if } g, h \mbox{ are conjugate } \\ 0 & \mbox{ otherwise.}\end{cases}

其中相加的範圍為所有G的不可約特徵標\chi_i,而符號\left | C_G(g) \right |則表示為g的共軛類之大小。

此一正交關係可以幫助許多的運算,如:

  • 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。
  • 當只有一些不可約特徵標為可知時,建構其完整的特徵標表。
  • 求出群的共軛類的表示的中心化子的目。
  • 求出群的目。

特徵標表性質[编辑]

一個群G的某些性質可以由其特徵表中推導出來:

  • G的目就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方:(χ(1))2的總和(伯恩赛德公式)。
  • G可換的若且唯若對每個在表上的特徵標,χ(1) = 1。
  • G有一個非當然正規子群(即G不是一個簡單群)若且唯若對於某些表上的非當然特徵標χ和一些於G內的非單位元素g,會有χ(1) = χ(g)。

特徵標表通常不會將群分至同構:例如,四元群Q和有8個元素的二面體群D4會有同樣的特徵標表。

有限群之特別例子,詳見有限群表示理論

一維表示的特徵標會形成一個特徵標群,其和數論中有著很重要的關連。

參考文獻[编辑]