特殊直角三角形

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歐拉圖表示三角形中一些特殊的三角形

特殊直角三角形是一些有特殊性質的直角三角形,其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便,或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係,例如45–45–90度三角形,這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係,例如各邊的比例可以用自然數表示,例如3 : 4 : 5,或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係,可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。

各角有特殊關係[编辑]

45–45–90度三角形及30–60–90度三角形都是有特殊角的直角三角形,角度分別是30度及45度的倍數

直角三角形的各角有其基本關係:最大角(直角)為90度,也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。

直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成,若角度為30°, 45°或60°,其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。

以下是一些特殊角的三角函數

角度 弧度 sin cos tan
0 0 \tfrac{\sqrt{0}}{2}=0 \tfrac{\sqrt{4}}{2}=1 0
30 \tfrac{\pi}{6} \tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2} \tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{1}{\sqrt{3}}
45 \tfrac{\pi}{4} \tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}} \tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}} 1
60 \tfrac{\pi}{3} \tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2} \sqrt{3}
90 \tfrac{\pi}{2} \tfrac{\sqrt{4}}{2}=1 \tfrac{\sqrt{0}}{2}=0 \infty
45–45–90
30–60–90

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比斯三角形,任一內角都可以找到對應整數,使內角和整數的乘積為180,參照三角形群英语Triangle group

45–45–90度三角形[编辑]

45–45–90度三角形的邊長

在平面幾何中,將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為1 : 1 : 2的三角形,而內角和為180度(或是π弧度),因此各角角度為45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依畢氏定理可得其邊長比例為1 : 1 : √2,因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線,中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形,邊長是原來的1/√2。

45–45–90度三角形為等腰直角三角形,在平面幾何中,這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學雙曲幾何中,有無限種也是等腰三角形的直角三角形。

30–60–90度三角形[编辑]

30–60–90度三角形的邊長

若三角形各角的比例是1 : 2 : 3,其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是1 : √3 : 2。

使用三角函數可以證明上述的事實.利用幾何學的證明如下:

繪製邊長為2的正三角形ABC,並令D點為線段BC的中點。連接線段AD,則三角形ABD為 30–60–90度三角形,其斜邊長度為2,一股BD長度為1。
另一股AD的長度為√3,可以由畢氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單:假設三個角的角度為等差數列,可以表示為為α, α+δ, α+2δ,因為內角和為180°,可得3α+3δ = 180°,其中有一角會是60度,而且最大角需為90度,因此最小角會是30度。

角度呈等比數列的直角三角形[编辑]

在平面幾何中,30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形,角度呈等比數列的直角三角形也只有一種,其角度為π/(2φ2)[1]、π/(2φ)、π/2,其中公比為黃金比例φ。三個內角的比例為 1:\varphi:\varphi^2.\,

根據正弦定律,各邊的比例會是 \sin{\frac{\pi}{2\varphi^2}}:\sin{\frac{\pi}{2\varphi}}:1.\, 。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理,因此可得 \sin^2{\frac{\pi}{2\varphi^2}}+\sin^2{\frac{\pi}{2\varphi}}=1\, ,可以得到以下的恆等式[來源請求]

 \cos{\frac{\pi}{\varphi+1}}+\cos{\frac{\pi}{\varphi}}=0.

有趣的是,若將餘弦函數以指數來表示,可以得到一個「黃金比例恆等式」,其中有出現黃金比例φ,和出現在歐拉恆等式中的五個數學基本常數π, e, i, 1, 0(不過歐拉恆等式比較簡潔):

 e^{\frac{i\pi}{\varphi+1}}+e^{-\frac{i\pi}{\varphi+1}}+e^{\frac{i\pi}{\varphi}}+e^{-\frac{i\pi}{\varphi}}=0.\,

各邊有特殊關係[编辑]

若三角形各邊為整數,三角形的三邊稱為勾股數,其各角的角度不會是整數[2]。這類的直角三角形容易記憶,而且三角形的各邊比例只要一様,即為相似三角形,就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式,勾股數的比例比必定滿足以下的關係

m^2-n^2 : 2mn : m^2+n^2\,

其中mn均為正整數,而且m>n

常見的勾股数[编辑]

以下是前五個勾股数:

3: 4 :5
5: 12 :13
8: 15 :17
7: 24 :25
9: 40 :41

其中3 : 4 : 5三角形是唯一邊長呈等差級數的直角三角形,在埃及稱為「埃及三角形」[3]。由勾股数的有理數組成的三角形都是海倫三角形,表示其邊長和面積都是有理數。

以下是所有二股都小於256的互質勾股数組,不過前五項已在上文中列出,此處不再重列:

11: 60 :61     
12: 35 :37
13: 84 :85
15: 112 :113
16: 63 :65
17: 144 :145
19: 180 :181
20: 21 :29
20: 99 :101
21: 220 :221
24: 143 :145     
28: 45 :53
28: 195 :197
32: 255 :257
33: 56 :65
36: 77 :85
39: 80 :89
44: 117 :125
48: 55 :73
51: 140 :149
52: 165 :173     
57: 176 :185
60: 91 :109
60: 221 :229
65: 72 :97
84: 187 :205
85: 132 :157
88: 105 :137
95: 168 :193
96: 247 :265
104: 153 :185
105: 208 :233
115: 252 :277
119: 120 :169
120: 209 :241
133: 156 :205
140: 171 :221
160: 231 :281
161: 240 :289
204: 253 :325
207: 224 :305


斐波那契三角形[编辑]

從5開始,斐波那契數列中的第6項、第8項、第10項...等偶數項(假設0為第1項){0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊,也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和,較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。

第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8,下一個斐波那契三角形邊長為13, 12(5 + 4 + 3)和5(8 − 3)。跳過數字21,下一個三角形邊長為34, 30(13 + 12 + 5)和16(21 − 5)。此數列會一直延伸,最後會趨近以下的比值:

1:2:\sqrt{5}.

Andrew Clarke建議將長度比例為:1:2:\sqrt{5}的三角形稱為dom,因為此三角形可以由二格骨牌(domin)延對角線切割而成,此三角形是約翰·何頓·康威查爾斯·雷丁英语Charles Radin提出的非週期性英语aperiodic tiling風車貼磚英语pinwheel tiling的基礎。

幾乎等腰的直角三角形[编辑]

等腰直角三角形的三邊不可能都是整數,但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形,也就是直角三角形的邊長為整數,而且二股長度只差一[4]。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程遞迴求解而得:

a0 = 1, b0 = 2
an = 2bn–1 + an–1
bn = 2an + bn–1

an為斜邊的長度,n = 1, 2, 3, ....。最小的幾個三角形如下

3 : 4  : 5
20 : 21  : 29
119  : 120  : 169
696  : 697  : 985
4059  : 4060  : 5741
23660  : 23661  : 33461

各邊呈等比數列的三角形[编辑]

开普勒三角的三邊分別組成的正方形,面積呈等比數列,其公比為黃金比例

开普勒三角形是特殊的直角三角形,它的三边之比等于1:\sqrt\phi:\phi,為等比數列,其中\phi黄金比\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}.德国数学家天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ OEIS:A180014
  2. ^ Weisstein, Eric W. Rational Triangle. MathWorld. 
  3. ^ A. Aleksei Petrovich Stakhov. Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer. World Scientific. 2009年: p.86. ISBN 9812775838. 
  4. ^ C.C. Chen and T.A. Peng. Almost-isosceles right-angled triangles. University of Queensland. [2013-09-02]. 

外部連結[编辑]