本页使用了标题或全文手工转换

特殊酉群

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
群论
Rubik's cube.svg

数学中,n特殊酉群special unitary group),记作 SU(n),是行列式为1 的 n×n 矩阵组成的群(一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数)。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 n×n 酉矩阵组成的酉群 U(n) 的一个子群,酉群又是一般线性群 GL(n, C) 的一个子群。

群 SU(n) 在粒子物理标准模型中有广泛的应用,特别是 SU(2) 在电弱相互作用与 SU(3) 在量子色动力学中。

最简单的情形 SU(1),是平凡群,只有一个元素。群 SU(2) 同构于绝对值为 1 的四元数,从而微分同胚三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转(差一个符号),我们有一个同态从 SU(2) 到旋转群 SO(3),其\{+I, -I\}

性质[编辑]

特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是单连通的。在代数上,它是一个单李群(意为它的李代数是单的,见下)。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3,它的外自同构群Z2,而 SU(2) 的外自同构群是平凡群

SU(n) 代数由 n2 个算子生成,满足交换关系(对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n):

\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}

另外,算子

\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}

满足

\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1[1]

生成元[编辑]

一般地,SU(n) 的无穷小生成元 T,由一个无埃尔米特矩阵表示。即

  • \operatorname{tr}(T_a) = 0 ,\,

以及

  •  T_a = T_a^\dagger .\,

基本表示[编辑]

在定义或基本表示中,由 n×n 矩阵表示的生成元是:

  • T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} \,
这里系数 f 是结构常数,它对所有指标都是反对称的,而系数 d 对所有指标都是对称的。

从而

  • \left[T_a, T_b \right]_+ = \frac{1}{n}\delta_{ab} + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \,
  • \left[T_a, T_b \right]_- = i \sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} \,

我们也有

  • \sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} \,

作为一个正规化约定。

伴随表示[编辑]

伴随表示中,生成元表示由 (n^2-1) \times (n^2-1) 矩阵表示,其元素由结构常数定义:

  •  (T_a)_{jk} = -if_{ajk} \,

\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})\mathfrak{su}_2(\mathbb{C})[编辑]

\operatorname{SU}_2(\mathbb{C}) 一个一般矩阵元素形如

U = 
\begin{pmatrix}
\alpha&-\overline{\beta}\\
\beta&\overline{\alpha}
\end{pmatrix}

这里 \alpha,\beta\in\mathbb{C} 使得 |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1。我们考虑如下映射 \varphi : \mathbb{C}^2 \to \operatorname{M}(2,\mathbb{C}),(这里 \operatorname{M}(2,\mathbb{C}) 表示 2×2 复矩阵集合),定义为


\varphi(\alpha,\beta) =
\begin{pmatrix}
\alpha&-\overline{\beta}\\
\beta&\overline{\alpha}
\end{pmatrix}.

考虑到 \mathbb{C}^2 微分同胚\mathbb{R}^4\operatorname{M}(2,\mathbb{C}) 同胚于 \mathbb{R}^8,我们可看到 \varphi 是一个实线性单射,从而是一个嵌入。现在考虑 \varphi 限制在三维球面上,记作 S^3,我们可发现这是三维球面到 \operatorname{M}(2,\mathbb{C}) 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 \varphi(S^3) = \operatorname{SU}_2(\mathbb{C}),作为一个流形微分同胚于 \operatorname{SU}_2(\mathbb{C}),使 \operatorname{SU}_2(\mathbb{C}) 成为一个紧连通李群

现在考虑李代数 \mathfrak{su}_2(\mathbb{C}),一个一般元素形如


U' = 
\begin{pmatrix}
ix & -\overline{\beta}\\
\beta & -ix
\end{pmatrix}

这里 x \in \mathbb{R} 以及 \beta \in \mathbb{C}。易验证这样形式的矩阵的是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成


u_1 = \begin{pmatrix}
0 & i\\
i & 0
\end{pmatrix}
\qquad
u_2 = \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
u_3 = \begin{pmatrix}
i & 0\\
0 & -i
\end{pmatrix}

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 u_3u_2 = -u_2u_3 = u_1u_2u_1 = -u_1u_2 = u_3。从而交换子括号由


[u_1,u_3]=2u_2, \qquad [u_2,u_1] = 2u_3, \qquad [u_3,u_2] = 2u_1.

确定。上述生成元与泡利矩阵有关,u_1 = i\sigma_1, u_2 = -i\sigma_2u_3 = i\sigma_3

SU(3)[编辑]

SU(3) 的生成元 T,在定义表示中为

T_a = \frac{\lambda_a}{2} .\,

这里 \lambda \,盖尔曼矩阵,是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比:

\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

注意它们都是无埃尔米特矩阵

它们服从关系

  • \left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,
这里 f 是结构常数,如上所定义,它们的值为
f^{123} = 1 \,
f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,
f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,

d 的取值:

d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,
d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,
d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,

李代数[编辑]

\mathrm{SU}(n) 对应的李代数记作 \mathfrak{su}(n)。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 n \times n 复矩阵组成,以通常交换子李括号粒子物理学家通常增加一个因子 i,从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 \mathfrak{su}(n)\mathbb{R} 上一个李代数。

例如,下列量子力学中使用的矩阵组成 \mathfrak{su}(2)\mathbb{R} 上的一组

i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}
i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}

(这里 i虚数单位。)

这个表示经常用于量子力学(参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵)表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量

注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元,以及生成元反交换。与单位矩阵(乘以 i)一起

 i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}

它们也是 \mathfrak{su}(2) 的生成元。

当然这里它取决于我们最终处理的问题,比如在非相对论量子力学中为 2-旋量;或在相对论狄拉克理论中,我们需要到 4-旋量的一个扩张;或在数学中甚至是克利福德代数

注:在矩阵乘法下(在此情形是反交换的),生成克利福德代数 \mathrm{Cl}_3,而在交换子括号下生成李代数 \mathfrak{su}(2)

回到一般的 \mathrm{SU}(n)

如果我们选择(任意)一个特定的基,则纯虚数无迹对角 n \times n 矩阵子空间组成一个 n - 1嘉当子代数

将这个李代数复化,从而现在允许任何无迹 n \times n 矩阵。本征向量是嘉当子代数自己,只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 \mathrm{h} 只是 n - 1 维,但为了化简计算,经常引入一个辅助元素,与所有元素交换的单位矩阵(它不能视为这个李代数的一个元素)。故我们有一个基,其中第 i 个基向量是在第 i 个对角元素为 1 而在其它处为零的矩阵。则权由 n 个坐标给出,而且在所有 n 个坐标求和为零(因为单位矩阵只是辅助的)。

\mathrm{SU}(n)n - 1,它的邓肯图A_{n - 1} 给出,有 n - 1 个顶点的链。

它的根系n(n - 1) 个根组成,生成一个 n - 1 欧几里得空间。这里,我们使用 n 冗余坐标而不是 n - 1 坐标来强调根系的对称(n 坐标之和为零)。换句话说,我们是将这个 n - 1 维向量空间嵌入 n-维中。则根由所有 n(n - 1) 置换 (1, -1, 0, \dots, 0)。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为

(1, -1, 0, \dots, 0),
(0, 1, -1, \dots, 0),
…,
(0, 0, 0, \dots, 1, -1).

它的嘉当矩阵

 \begin{pmatrix} 2 & -1 &  0 & \dots & 0 \\-1 &  2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 &  2 & \dots &  0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix} .

它的外尔群考克斯特群对称群 S_n(n - 1)-单形的对称群。

广义特殊酉群[编辑]

对一个 FF 上广义特殊酉群 SU(p,q;F),F 上一个秩为 n=p+q向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环,在这种情形向量空间换为自由模

特别地,固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵,则所有

M \in SU(p,q,R)

满足

M^{*} A M = A \,
\det M = 1. \,

经常可以见到记号 SU_{p,q} 略去环或域,在这种形式环或域是指 C,这给出一个典型李群。当 F=C 时,A 的标准选取是


  A
  =
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & i \\
    0 & I_{n-2} & 0 \\
    -i & 0 & 0
  \end{bmatrix}.

对某些维数 A 可能有更好的选择,当限制为 C 的一个子环时有更好表现。

例子[编辑]

这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i]),(射影地)作用在二度复双曲空间上,同样地 SL(2,Z) (射影地)作用在二维实双曲空间上。2003年,Gábor Francsics彼得·拉克斯算出了这个群在 HC^2 上作用的基本域,参见 [1]

另一个例子是 SU(1,1;C),同构于 SL(2,R)。

重要子群[编辑]

在物理学中,特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是,对 p>1,n-p>1:


SU(n) \supset SU(p)\times SU(n-p) \times U(1).

为了完整性,还有正交子群:


SU(n) \supset O(n)

SU(2n) \supset USp(2n).

因为 SU(n) 的n-1,U(1) 是 1,一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群:


SO(2n) \supset SU(n)

USp(2n) \supset SU(n)

Spin(4) = SU(2) \times SU(2)
(参见自旋群

E_6 \supset SU(6)

E_7 \supset SU(8)

G_2 \supset SU(3)
(关于 E6, E7 与 G2 参见单李群)。

有同构 SU(4)=Spin(6)SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)

最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群,这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。

相关条目[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]