# 特殊酉群

## 性质

SU(n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：

$\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}$

$\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}$

$\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0$

## 生成元

• $\operatorname{tr}(T_a) = 0 ,\,$

• $T_a = T_a^\dagger .\,$

### 基本表示

• $T_a T_b = \frac{1}{2n}\delta_{ab}I_n + \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} \,$

• $\left[T_a, T_b \right]_+ = \frac{1}{n}\delta_{ab} + \sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} \,$
• $\left[T_a, T_b \right]_- = i \sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} \,$

• $\sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} \,$

### 伴随表示

• $(T_a)_{jk} = -if_{ajk} \,$

## SU(2)

$\operatorname{SU}_2(\mathbb{C})$ 一个一般矩阵元素形如

$U = \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}$

$\varphi(\alpha,\beta) = \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}.$

$U' = \begin{pmatrix} ix & -\overline{\beta}\\ \beta & -ix \end{pmatrix}$

$u_1 = \begin{pmatrix} 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad u_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad u_3 = \begin{pmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{pmatrix}$

$[u_1,u_3]=2u_2, \qquad [u_2,u_1] = 2u_3, \qquad [u_3,u_2] = 2u_1.$

## SU(3)

SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为

$T_a = \frac{\lambda_a}{2} .\,$

 $\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ $\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$ $\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

• $\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,$

$f^{123} = 1 \,$
$f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,$
$f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,$

d 的取值：

$d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,$
$d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,$
$d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,$

## 李代数

$\mathrm{SU}(n)$ 对应的李代数记作 $\mathfrak{su}(n)$。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 $n \times n$ 复矩阵组成，以通常交换子李括号粒子物理学家通常增加一个因子 $i$，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 $\mathfrak{su}(n)$$\mathbb{R}$ 上一个李代数。

$i\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$
$i\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
$i\sigma_z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$

（这里 $i$虚数单位。）

$i I_2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$

$\mathrm{SU}(n)$$n - 1$，它的邓肯图$A_{n - 1}$ 给出，有 $n - 1$ 个顶点的链。

$(1, -1, 0, \dots, 0)$,
$(0, 1, -1, \dots, 0)$,
…,
$(0, 0, 0, \dots, 1, -1)$.

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\-1 & 2 & -1 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{pmatrix}$.

## 广义特殊酉群

$M \in SU(p,q,R)$

$M^{*} A M = A \,$
$\det M = 1. \,$

$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & I_{n-2} & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

## 重要子群

$SU(n) \supset SU(p)\times SU(n-p) \times U(1).$

$SU(n) \supset O(n)$
$SU(2n) \supset USp(2n).$

$SO(2n) \supset SU(n)$
$USp(2n) \supset SU(n)$
$Spin(4) = SU(2) \times SU(2)$（参见自旋群
$E_6 \supset SU(6)$
$E_7 \supset SU(8)$
$G_2 \supset SU(3)$（关于 E6, E7 与 G2 参见单李群）。

## 注释

1. ^ R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.