狄利克雷判别法

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无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数

狄利克雷判别法是一个级数审敛法,以数学家约翰·彼得·狄利克雷命名。

给定两个实数级数\{a_n\}\{b_n\},如果级数满足

  • a_n \geq a_{n+1} > 0
  • \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0
  • \left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M对于所有正整数N

其中M是某个常数,那么级数

\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n

收敛。

狄利克雷判别法的一个推论,是更加常用的交错级数审敛法:

b_n = (-1)^n \Rightarrow\left|\sum_{n=1}^N b_n\right| \leq 1

另外一个推论是当\{a_n\}是一个趋于零的递减数列时, \sum_{n=1}^\infty a_n \sin n 收敛。

参考文献[编辑]

  • Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379-380).
  • Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) ISBN 0-8247-6949-X.

外部链接[编辑]