狄利克雷卷積

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在算術函數集上,可以定義一種二元運算,使得取這種運算為乘法,取普通函數加法為加法,使得算術函數集為一個交換。其中一種這樣的運算便是狄利克雷卷積。它和一般的卷積有不少相類之處。

對於算術函數f,g,定義其狄利克雷卷積(f * g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})

取狄利克雷卷積為運算,積性函數集是算術函數集的子

運算[编辑]

  • 交換律f * g = g * f
  • 結合律(f * g) * h = f * (g * h)
  • 分配律f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f
  • 存在單位函數ε使得f = f * \epsilon=\epsilon * f。ε(n)的值為1若n=1,否則ε(n)=0。
  • 對於任意算術函數f,若f(1)不等於0,都有唯一的逆函數f^{-1},使得f * f^{-1} = \epsilon

f^{-1}的值如下:

f^{-1}(1)= \frac{1}{f(1)}
對於n>1f^{-1}(n)= \frac{-1}{f(1)} \sum_{d|n , n \ne d} f(\frac{n}{d}) f^{-1}(d)

默比烏斯函數μ的逆函數為(一般意義上的)1,即對於n \ne 1\sum_{d|n} \mu(d) \times 1 = 0。這是默比烏斯反轉公式的原理。

狄利克雷卷積以數學家狄利克雷命名。1857年劉維爾曾發表了許多包含這個運算的恆等式。將它視為二元運算這個觀點是E. T. 貝爾和 M. Cipolla 在1915年提出的。

導數[编辑]

若定義f的「導數」f'(n) = f(n) \log(n),可以發現這個運算和連續函數導數有不少相似的地方:

  • (f+g)' = f' + g'
  • (f*g)' = f*g' + f'*g
  • (f^{-1})' = \frac{-f'}{f*f}

級數[编辑]

對於算術函數f,定義其狄利克雷級數

DG(f;s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

對於一些算術函數的狄利克雷級數,它們的積,跟那些算術函數的狄利克雷卷積的狄利克雷級數是相等的:

DG(f;s) DG(g;s) = DG(f*g;s)\,

這跟卷積定理很相似。

定義f的貝爾級數

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.

也有類似的關係:

  • {(f*g)_p}(x) = f_p(x) \times g_p(x)

參考[编辑]