狄利克雷定理

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數論中,狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數a,d,有無限多個質數的形式如a+nd,其中n為正整數,即在算術級數a+d,a+2d,a+3d,...中有無限多個質數——有無限個質數模d同餘a

相關定理[编辑]

  • 歐幾里得證明了有無限個質數,即有無限多個質數的形式如2n+1
  • 算術級數的質數定理:若a,d互質,則有
\sum_{p \le x \quad p \equiv a \pmod{d} } 1 \sim \frac{1}{\phi(d)} \frac{x}{\ln(x)}

其中φ是歐拉φ函數。取d=2,可得一般的質數定理

歷史[编辑]

歐拉曾以\sum \frac{1}{p} = \infty,來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感,借助證明\sum_{p \equiv a \pmod{d} } {1/p} = \infty來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數,應用了一些解析數學的技巧,是解析數論的重要里程碑。

參考[编辑]

  • T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7