狄利克雷定理

在數論中，狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數$a,d$，有無限多個質數的形式如$a+nd$，其中$n$為正整數，即在算術級數$a+d,a+2d,a+3d,...$中有無限多個質數——有無限個質數模$d$同餘$a$。

相關定理

• 歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如$2n+1$。
• 算術級數的質數定理：若$a,d$互質，則有

$\sum_{p \le x \quad p \equiv a \pmod{d} } 1 \sim \frac{1}{\phi(d)} \frac{x}{\ln(x)}$。

其中φ是歐拉φ函數。取$d=2$，可得一般的質數定理。

• Linnik定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數$a+nd$中最小的質數少於$cd^L$，其中$L$和$c$均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
• Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

歷史

歐拉曾以$\sum \frac{1}{p} = \infty$，來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感，借助證明$\sum_{p \equiv a \pmod{d} } {1/p} = \infty$來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數，應用了一些解析數學的技巧，是解析數論的重要里程碑。

參考

• T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7