狄利克雷定理 (傅里叶级数)

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数学分析中,狄利克雷定理(或若尔当—狄利克雷定理)是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的[1]。由于当时还没有出现适合的积分理论,狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数(除了在有限点以外都单调的函数)。

定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的,适用于所有局部有界变差函数[2]

定理的叙述[编辑]

f 为一个在\mathbb{R}上的周期性局部可积函数,其周期为2\pi。给定 x_0 \in \mathbb{R},假设有以下条件成立:

  1. 函数 fx_0 处有左极限和右极限,分别记为 f(x_0^+)f(x_0^-)
  2. 存在正实数:\alpha > 0,使得以下的两个积分收敛:
\int_0^\alpha \frac{|f(x_0+t)-f(x_0^+)|}{t} {\mathrm d} t, \qquad
\int_0^\alpha \frac{|f(x_0-t)-f(x_0^-)|}{t} {\mathrm d} t

那么,函数 f 的傅里叶级数在x_0 处收敛,并且有:

\lim\limits _n (S_nf(x_0))=\frac12(f(x_0^+)+f(x_0^-))

定理成立的一个特例是当函数 fx_0 处有左导数和右导数的时候,又或者是当函数是分段\mathcal{C}^{1}函数(见光滑函数)的时候。

证明[编辑]

定理的证明是基于以下事实:傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式狄利克雷核来计算。

D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)},
S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_n(x-t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t)f(x-t) dt

这里使用的是狄利克雷核的第二种形式:

S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt

这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件,唯一需要考虑的地方是函数 \frac{f(x-t)}{\sin(t/2)}0附近并不一定可积。但是由于:

\tilde{f}(x) = \frac{ f(x^+)+f(x^-)}{2}

存在,可以考虑将区间[ -\pi , 0)上的积分用u = -t换元,这样 S_n(f)(x) 就变成:

S_n(f)(x) = \int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt

因此:

S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt
-\frac{1}{2} \left( f(x^+)+f(x^-) \right)

而由于狄利克雷核在区间[ -\pi, \pi ]上的积分平均值是1,也就是说:

1 = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt = 2 \cdot \frac1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt
\frac12 = \frac1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt

因此:

\begin{align}
S_n(f)(x)-\tilde{f}(x) &= \frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt \\
&- \frac1{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{ \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin\frac t 2} \left( f(x^+)+f(x^-) \right) dt \\
&= \frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)-f(x^+)-f(x^-)}{\sin\frac t 2}  dt
\end{align}

由条件二,以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理,因此可以对两边求极限,得到:

 \lim_{n\to \infty} S_n(f)(x) = \tilde{f}(x)

参见[编辑]

注释与参考[编辑]

  1. ^ 狄利克雷, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169
  2. ^ 若尔当, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230

参考书籍[编辑]

  • (英文)Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms. Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715. p.46-52.
  • (法文)Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes. Cassini. 1998. ISBN 284225001X.