狄利克雷特徵

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解析數論代數數論中,狄利克雷特徵是一種算術函數,是 \mathbb Z / n \mathbb Z 的特徵。它用來定義L函數。兩者都是由狄利克雷在1831年為了證明狄利克雷定理而引進。

定義[编辑]

狄利克雷特徵指有下面性質、由整數複數函數

  • 存在正整數k使得對於任意n都有χ(n) = χ(n+k)
  • 對於任意m,n,χ(mn) = χ(m) χ(n)
  • χ(1)=1

首個條件說明特徵是一個以k為周期的函數,其餘兩個條件說明它是完全積性函數

若果特徵的周期不是1,由周期性和完全積性可知,特徵的值若非單位根便是0。若且唯若gcd(n,k)>1,χ(n)=0。

例子[编辑]

  • 實特徵指值域為實數的特徵,它的值只限於 \{-1,0,1\}
  • 若一個特徵對於所有與k互質的整數的值都為1,則稱為主特徵
  • p素數勒让德符号(n|p)便是狄利克雷特徵的例子。

參考[编辑]

  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 Chapter 6.