狄利克雷L函數

在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的複變數函數

$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.$

在此 $\chi$ 是一個狄利克雷特徵， $s \in \mathbb{C}$ 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。

約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 $\chi$ 俱有 $L(1,\chi) \neq 0$ ，並藉此證明狄利克雷定理。若 $\chi$ 是主特徵，則 $L(s,\chi)$ 在 $s=1$ 有單極點。

零點 [编辑]

不論可能的西格爾零點，狄利克雷L函數有與黎曼ζ函數相似的無零點區域，包括 $\{s:\mathrm{Re}(s) \geq 1\}$ 。一如黎曼ζ函數，狄利克雷L函數也有相應的廣義黎曼猜想。

假設 $\chi$ 是模 $k$ 的原特徵。定義

$\Lambda(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2} \Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),$

此處 $\Gamma$ 表Γ函數，而符號 $a$ 由下式給出

$a=\begin{cases}0,& \quad\chi(-1)=1, \\ 1,&\quad\chi(-1)=-1,\end{cases}$

$\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi).$

此處的 $\tau(\chi)$ 表高斯和

$\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k).$

我們亦有 $|\tau(\chi)| = k^{\frac{1}{2}}$ 。