狄利克雷L函數

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數學中,狄利克雷L函數狄利克雷級數的特例,它是形如下式的複變數函數

L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.

在此 \chi 是一個狄利克雷特徵s \in \mathbb{C} 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數

約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 \chi 俱有 L(1,\chi) \neq 0,並藉此證明狄利克雷定理。若 \chi 是主特徵,則 L(s,\chi)s=1 有單極點

零點[编辑]

  • \chi 是原特徵,\chi(-1)=1,則 L(s,\chi)\mathrm{Re}(s) < 0 的零點是負偶數。
  • \chi 是原特徵,\chi(-1)=-1,則 L(s,\chi)\mathrm{Re}(s) < 0 的零點是負奇數。

不論可能的西格爾零點,狄利克雷L函數有與黎曼ζ函數相似的無零點區域,包括 \{s:\mathrm{Re}(s) \geq 1\}。一如黎曼ζ函數,狄利克雷L函數也有相應的廣義黎曼猜想

函數方程[编辑]

假設 \chi 是模 k 的原特徵。定義

\Lambda(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),

此處 \GammaΓ函數,而符號 a 由下式給出

a=\begin{cases}0,& \quad\chi(-1)=1, \\ 1,&\quad\chi(-1)=-1,\end{cases}

則有函數方程

\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi).

此處的 \tau(\chi)高斯和

\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k).

我們亦有 |\tau(\chi)| = k^{\frac{1}{2}}

文獻[编辑]